MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskord Unicode version

Theorem tskord 8589
Description: A Tarski's class contains all ordinals smaller than it. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskord  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  On  /\  A  ~<  T )  ->  A  e.  T )

Proof of Theorem tskord
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~<  T  <->  y  ~<  T ) )
21anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )  <->  ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T ) ) )
3 eleq1 2448 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  T  <->  y  e.  T ) )
42, 3imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( T  e. 
Tarski  /\  x  ~<  T )  ->  x  e.  T
)  <->  ( ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T ) ) )
5 breq1 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ~<  T  <->  A  ~<  T ) )
65anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )  <->  ( T  e.  Tarski  /\  A  ~<  T ) ) )
7 eleq1 2448 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  T  <->  A  e.  T ) )
86, 7imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( T  e. 
Tarski  /\  x  ~<  T )  ->  x  e.  T
)  <->  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  ~<  T )  ->  A  e.  T ) ) )
9 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )
)  /\  y  e.  x )  ->  T  e.  Tarski )
10 onelss 4565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )
)
11 ssdomg 7090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  C_  x  ->  y  ~<_  x ) )
1210, 11syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  ~<_  x ) )
1312imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
1413adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<_  x )
15 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )
)  /\  y  e.  x )  ->  x  ~<  T )
16 domsdomtr 7179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  ~<_  x  /\  x  ~<  T )  ->  y  ~<  T )
1714, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )
)  /\  y  e.  x )  ->  y  ~<  T )
18 pm2.27 37 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  (
( ( T  e. 
Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T
)  ->  y  e.  T ) )
199, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )
)  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( T  e. 
Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T
)  ->  y  e.  T ) )
2019ralimdva 2728 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T )  ->  A. y  e.  x  y  e.  T ) )
21 dfss3 3282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  T  <->  A. y  e.  x  y  e.  T )
22 tskssel 8566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  C_  T  /\  x  ~<  T )  ->  x  e.  T )
23223exp 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( x  C_  T  ->  ( x  ~<  T  ->  x  e.  T
) ) )
2421, 23syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  T  ->  ( x  ~<  T  ->  x  e.  T
) ) )
2524com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( x  ~<  T  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  T  ->  x  e.  T
) ) )
2625imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  T  ->  x  e.  T ) )
2726adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T ) )  -> 
( A. y  e.  x  y  e.  T  ->  x  e.  T ) )
2820, 27syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T )  ->  x  e.  T ) )
2928ex 424 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( T  e.  Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T )  ->  x  e.  T ) ) )
3029com23 74 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( T  e. 
Tarski  /\  y  ~<  T )  ->  y  e.  T
)  ->  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  ~<  T )  ->  x  e.  T ) ) )
314, 8, 30tfis3 4778 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( T  e.  Tarski  /\  A  ~<  T )  ->  A  e.  T ) )
32313impib 1151 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  T  e.  Tarski  /\  A  ~<  T )  ->  A  e.  T )
33323com12 1157 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  On  /\  A  ~<  T )  ->  A  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   Oncon0 4523    ~<_ cdom 7044    ~< csdm 7045   Tarskictsk 8557
This theorem is referenced by:  tskcard  8590
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-tsk 8558
  Copyright terms: Public domain W3C validator