MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Unicode version

Theorem tskpr 8637
Description: If  A and  B are members of a Tarski's class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  T  e.  Tarski )
2 prssi 3946 . . 3  |-  ( ( A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  C_  T )
323adant1 975 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  C_  T
)
4 prfi 7373 . . . . 5  |-  { A ,  B }  e.  Fin
5 isfinite 7599 . . . . 5  |-  ( { A ,  B }  e.  Fin  <->  { A ,  B }  ~<  om )
64, 5mpbi 200 . . . 4  |-  { A ,  B }  ~<  om
7 ne0i 3626 . . . . 5  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
8 tskinf 8636 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
97, 8sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  om  ~<_  T )
10 sdomdomtr 7232 . . . 4  |-  ( ( { A ,  B }  ~<  om  /\  om  ~<_  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
116, 9, 10sylancr 645 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
12113adant3 977 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  ~<  T )
13 tskssel 8624 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  { A ,  B }  C_  T  /\  { A ,  B }  ~<  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)
141, 3, 12, 13syl3anc 1184 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T  /\  B  e.  T )  ->  { A ,  B }  e.  T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {cpr 3807   class class class wbr 4204   omcom 4837    ~<_ cdom 7099    ~< csdm 7100   Fincfn 7101   Tarskictsk 8615
This theorem is referenced by:  tskop  8638  tskwun  8651  tskun  8653  grutsk1  8688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-r1 7682  df-tsk 8616
  Copyright terms: Public domain W3C validator