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Theorem tskuni 8405
Description: The union of an element of a transitive Tarski's class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 8378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  T )
2 tskwe2 8395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  e.  dom  card )
3 cardid2 7586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  dom  card  ->  (
card `  T )  ~~  T )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  ~~  T )
5 ensym 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  T )  ~~  T  ->  T  ~~  ( card `  T )
)
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  ~~  ( card `  T ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
8 sdomentr 6995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
91, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( f "
x ) )
1110rnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
12 cardon 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  T )  e.  On
13 sdomdom 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  ~<_  ( card `  T ) )
14 ondomen 7664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  T
)  e.  On  /\  A  ~<_  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  e.  dom  card )
1615adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
17 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  f  e. 
_V
18 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " x )  e.  _V )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f
" x )  e. 
_V
2019, 10fnmpti 5372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  Fn  A
21 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x ) )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) ) )
2220, 21mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )
23 fodomnum 7684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x
) ) : A -onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A ) )
2416, 22, 23ee10 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A )
2511, 24syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<_  A )
26 domsdomtr 6996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<_  A  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2725, 26sylancom 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2827adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  /\  A  ~<  ( card `  T ) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( card `  T
) )
299, 28mpdan 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
30 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
31 tskcard 8403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
3230, 31sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
33 elina 8309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc 
<->  ( ( card `  T
)  =/=  (/)  /\  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )  /\  A. x  e.  (
card `  T ) ~P x  ~<  ( card `  T ) ) )
3433simp2bi 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3629, 35breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
37363adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
39323adant2 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( card `  T )  e.  Inacc )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
41 inawina 8312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( card `  T )  e.  Inacc W )
42 winalim 8317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc W  ->  Lim  ( card `  T )
)
4340, 41, 423syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  Lim  ( card `  T )
)
44 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
45 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  ( f
" x )  <->  y  =  ( f " x
) ) )
4645rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  A  z  =  ( f " x )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x
) ) )
4744, 46elab 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x ) )
48 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
49 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -onto-> ( card `  T ) )
50 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
5248, 51syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
) )
5352ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
54 f1of1 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -1-1-> ( card `  T ) )
55 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
56 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
5756f1imaen 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : U. A -1-1-> (
card `  T )  /\  x  C_  U. A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
5854, 55, 57syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
5958adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
60 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  e.  Tarski )
61 trss 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  A  C_  T ) )
6261imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  A  C_  T )
63623adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  A  C_  T
)
6463sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  T )
65 tsksdom 8378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  x  ~<  T )
6660, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  T )
6760, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
68 sdomentr 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6966, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
7069adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  ~<  (
card `  T )
)
71 ensdomtr 6997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f " x
)  ~~  x  /\  x  ~<  ( card `  T
) )  ->  (
f " x ) 
~<  ( card `  T
) )
7259, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( card `  T )
)
7340, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7572, 74breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( cf `  ( card `  T ) ) )
76 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  <->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
) )
77 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  <-> 
( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
7876, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  <->  ( ( f
" x )  C_  ( card `  T )  /\  ( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7978biimprcd 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f " x
)  C_  ( card `  T )  /\  (
f " x ) 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8053, 75, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8180rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( f " x )  -> 
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8247, 81syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ->  ( y  C_  ( card `  T
)  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8382ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
84 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( card `  T )  e.  _V
8584cfslb2n 7894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  ( card `  T
)  /\  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8643, 83, 85syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8738, 86mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =/=  ( card `  T ) )
8819dfiun2 3937 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  A  ( f " x )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
8952ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  A. x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
90 iunss 3943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ x  e.  A  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
)  <->  A. x  e.  A  ( f " x
)  C_  ( card `  T ) )
9189, 90sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
92 fof 5451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
f : U. A --> ( card `  T )
)
93 foelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : U. A -onto->
( card `  T )  /\  y  e.  ( card `  T ) )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) )
9493ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) ) )
95 eluni2 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  z  e.  x )
96 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x  f : U. A --> ( card `  T )
97 nfiu1 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( f " x
)
9897nfel2 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x )
99 ssiun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
f " x ) 
C_  U_ x  e.  A  ( f " x
) )
100993ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f " x )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
101 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  f  Fn  U. A )
1021013ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  f  Fn  U. A )
103553ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  x  C_  U. A
)
104 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
105 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  Fn  U. A  /\  x  C_  U. A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
106102, 103, 104, 105syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
107100, 106sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) )
1081073exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) ) )
10996, 98, 108rexlimd 2664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x ) ) )
11095, 109syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
111 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
112110, 111syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( y  =  ( f `  z )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) ) ) )
113112rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. z  e.  U. A
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11492, 94, 113sylsyld 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11549, 114syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
y  e.  ( card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x
) ) )
116115ssrdv 3185 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ( card `  T )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
11791, 116eqssd 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  =  ( card `  T
) )
11888, 117syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =  (
card `  T )
)
119118necon3ai 2486 . . . . . . 7  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )  ->  -.  f : U. A
-1-1-onto-> ( card `  T )
)
12087, 119syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
121120ex 423 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) ) )
122121pm2.01d 161 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
123122nexdv 1857 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
124 entr 6913 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  ~~  ( card `  T ) )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
1256, 124sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
126 bren 6871 . . . . . 6  |-  ( U. A  ~~  ( card `  T
)  <->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
127125, 126sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
128127expcom 424 . . . 4  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
1291283ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
130123, 129mtod 168 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  U. A  ~~  T )
131 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  T  ->  U. A  C_ 
U. T )
132 df-tr 4114 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  T  <->  U. T  C_  T
)
133132biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  T  ->  U. T  C_  T )
134131, 133sylan9ss 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  T  /\  Tr  T )  ->  U. A  C_  T )
135134expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( Tr  T  ->  ( A  C_  T  ->  U. A  C_  T ) )
13661, 135syld 40 . . . . . 6  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  U. A  C_  T ) )
137136imp 418 . . . . 5  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  U. A  C_  T )
138 tsken 8376 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  C_  T )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
139137, 138sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  ( Tr  T  /\  A  e.  T ) )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
1401393impb 1147 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T )
)
141140ord 366 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( -.  U. A  ~~  T  ->  U. A  e.  T
) )
142130, 141mpd 14 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Tr wtr 4113   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   cardccrd 7568   cfccf 7570   Inacc Wcwina 8304   Inacccina 8305   Tarskictsk 8370
This theorem is referenced by:  tskwun  8406  tskint  8407  tskun  8408  tskurn  8411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-r1 7436  df-card 7572  df-aleph 7573  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743  df-wina 8306  df-ina 8307  df-tsk 8371
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