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Theorem tskuni 8660
Description: The union of an element of a transitive Tarski's class is in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskuni  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )

Proof of Theorem tskuni
Dummy variables  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsksdom 8633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  T )
2 cardidg 8425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( card `  T
)  ~~  T )
32ensymd 7160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  Tarski  ->  T  ~~  ( card `  T ) )
43adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
5 sdomentr 7243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
61, 4, 5syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  A  ~<  ( card `  T
) )
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( f "
x ) )
87rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )  =  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
9 cardon 7833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( card `  T )  e.  On
10 sdomdom 7137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  ~<_  ( card `  T ) )
11 ondomen 7920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  T
)  e.  On  /\  A  ~<_  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
129, 10, 11sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
~<  ( card `  T
)  ->  A  e.  dom  card )
1312adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  A  e.  dom  card )
14 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
15 imaexg 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " x )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f
" x )  e. 
_V
1716, 7fnmpti 5575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) )  Fn  A
18 dffn4 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x ) )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) ) )
1917, 18mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( f
" x ) ) : A -onto-> ran  (
x  e.  A  |->  ( f " x ) )
20 fodomnum 7940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( f " x
) ) : A -onto-> ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A ) )
2113, 19, 20ee10 1386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  ( f " x
) )  ~<_  A )
228, 21syl5eqbrr 4248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<_  A )
23 domsdomtr 7244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<_  A  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2422, 23sylancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  T  /\  A  ~<  ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
2524adantll 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  /\  A  ~<  ( card `  T ) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( card `  T
) )
266, 25mpdan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( card `  T ) )
27 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
28 tskcard 8658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
2927, 28sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
30 elina 8564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc 
<->  ( ( card `  T
)  =/=  (/)  /\  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )  /\  A. x  e.  (
card `  T ) ~P x  ~<  ( card `  T ) ) )
3130simp2bi 974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
3326, 32breqtrrd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  A  e.  T )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
34333adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) } 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )
3534adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T
) ) )
36293adant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( card `  T )  e.  Inacc )
3736adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( card `  T )  e. 
Inacc )
38 inawina 8567 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc  ->  ( card `  T )  e.  Inacc W )
39 winalim 8572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  T )  e.  Inacc W  ->  Lim  ( card `  T )
)
4037, 38, 393syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  Lim  ( card `  T )
)
41 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
42 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
z  =  ( f
" x )  <->  y  =  ( f " x
) ) )
4342rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( E. x  e.  A  z  =  ( f " x )  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x
) ) )
4441, 43elab 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  <->  E. x  e.  A  y  =  ( f " x ) )
45 imassrn 5218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" x )  C_  ran  f
46 f1ofo 5683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -onto-> ( card `  T ) )
47 forn 5658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ran  f  =  ( card `  T ) )
4945, 48syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
) )
5049ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
51 f1of1 5675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  f : U. A -1-1-> ( card `  T ) )
52 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
53 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
5453f1imaen 7171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : U. A -1-1-> (
card `  T )  /\  x  C_  U. A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
5551, 52, 54syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  /\  x  e.  A )  ->  ( f " x
)  ~~  x )
5655adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~~  x )
57 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  e.  Tarski )
58 trss 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  A  C_  T ) )
5958imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  A  C_  T )
60593adant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  A  C_  T
)
6160sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  T )
62 tsksdom 8633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  x  e.  T )  ->  x  ~<  T )
6357, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  T )
6457, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  T  ~~  ( card `  T
) )
65 sdomentr 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  ~<  T  /\  T  ~~  ( card `  T
) )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6663, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  x  e.  A )  ->  x  ~<  ( card `  T
) )
6766adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  ~<  (
card `  T )
)
68 ensdomtr 7245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f " x
)  ~~  x  /\  x  ~<  ( card `  T
) )  ->  (
f " x ) 
~<  ( card `  T
) )
6956, 67, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( card `  T )
)
7037, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( cf `  ( card `  T
) )  =  (
card `  T )
)
7269, 71breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( f " x )  ~< 
( cf `  ( card `  T ) ) )
73 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  <->  ( f " x )  C_  ( card `  T )
) )
74 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  <-> 
( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
7573, 74anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  <->  ( ( f
" x )  C_  ( card `  T )  /\  ( f " x
)  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7675biimprcd 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f " x
)  C_  ( card `  T )  /\  (
f " x ) 
~<  ( cf `  ( card `  T ) ) )  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7750, 72, 76syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( y  =  ( f "
x )  ->  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7877rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( f " x )  -> 
( y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
7944, 78syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  (
y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }  ->  ( y  C_  ( card `  T
)  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) ) )
8079ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )
81 fvex 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  T )  e.  _V
8281cfslb2n 8150 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( card `  T
)  /\  A. y  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  (
y  C_  ( card `  T )  /\  y  ~<  ( cf `  ( card `  T ) ) ) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8340, 80, 82syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  ( { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  ~<  ( cf `  ( card `  T ) )  ->  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )
) )
8435, 83mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =/=  ( card `  T ) )
8516dfiun2 4127 . . . . . . . 8  |-  U_ x  e.  A  ( f " x )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x ) }
8649ralrimivw 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  A. x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
87 iunss 4134 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  A  (
f " x ) 
C_  ( card `  T
)  <->  A. x  e.  A  ( f " x
)  C_  ( card `  T ) )
8886, 87sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  C_  ( card `  T )
)
89 fof 5655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
f : U. A --> ( card `  T )
)
90 foelrn 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : U. A -onto->
( card `  T )  /\  y  e.  ( card `  T ) )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) )
9190ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  E. z  e.  U. A y  =  ( f `  z ) ) )
92 eluni2 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  z  e.  x )
93 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  f : U. A --> ( card `  T )
94 nfiu1 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( f " x
)
9594nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x )
96 ssiun2 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
f " x ) 
C_  U_ x  e.  A  ( f " x
) )
97963ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f " x )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
98 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  f  Fn  U. A )
99983ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  f  Fn  U. A )
100523ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  x  C_  U. A
)
101 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
102 fnfvima 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  Fn  U. A  /\  x  C_  U. A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10399, 100, 101, 102syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  ( f " x ) )
10497, 103sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : U. A --> ( card `  T )  /\  x  e.  A  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) )
1051043exp 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
x  e.  A  -> 
( z  e.  x  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) ) )
10693, 95, 105rexlimd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  x  ->  ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x ) ) )
10792, 106syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( f `  z
)  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
108 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z )  e.  U_ x  e.  A  ( f "
x )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
109107, 108syl6 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  (
z  e.  U. A  ->  ( y  =  ( f `  z )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  (
f " x ) ) ) )
110109rexlimdv 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : U. A --> ( card `  T )  ->  ( E. z  e.  U. A
y  =  ( f `
 z )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11189, 91, 110sylsyld 55 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. A -onto-> ( card `  T )  -> 
( y  e.  (
card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x ) ) )
11246, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  (
y  e.  ( card `  T )  ->  y  e.  U_ x  e.  A  ( f " x
) ) )
113112ssrdv 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  ( card `  T )  C_  U_ x  e.  A  ( f " x ) )
11488, 113eqssd 3367 . . . . . . . 8  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U_ x  e.  A  ( f " x )  =  ( card `  T
) )
11585, 114syl5eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T )  ->  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f " x
) }  =  (
card `  T )
)
116115necon3ai 2646 . . . . . 6  |-  ( U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  ( f "
x ) }  =/=  ( card `  T )  ->  -.  f : U. A
-1-1-onto-> ( card `  T )
)
11784, 116syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T  /\  A  e.  T )  /\  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
118117pm2.01da 431 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
119118nexdv 1942 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) )
120 entr 7161 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  ~~  ( card `  T ) )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
1213, 120sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  U. A  ~~  ( card `  T ) )
122 bren 7119 . . . . . 6  |-  ( U. A  ~~  ( card `  T
)  <->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
123121, 122sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( U. A  ~~  T  /\  T  e.  Tarski )  ->  E. f  f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T
) )
124123expcom 426 . . . 4  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
1251243ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  ->  E. f 
f : U. A -1-1-onto-> ( card `  T ) ) )
126119, 125mtod 171 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  -.  U. A  ~~  T )
127 uniss 4038 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  T  ->  U. A  C_ 
U. T )
128 df-tr 4305 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  T  <->  U. T  C_  T
)
129128biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  T  ->  U. T  C_  T )
130127, 129sylan9ss 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  T  /\  Tr  T )  ->  U. A  C_  T )
131130expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( Tr  T  ->  ( A  C_  T  ->  U. A  C_  T ) )
13258, 131syld 43 . . . . . 6  |-  ( Tr  T  ->  ( A  e.  T  ->  U. A  C_  T ) )
133132imp 420 . . . . 5  |-  ( ( Tr  T  /\  A  e.  T )  ->  U. A  C_  T )
134 tsken 8631 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  C_  T )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
135133, 134sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  ( Tr  T  /\  A  e.  T ) )  -> 
( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T ) )
1361353impb 1150 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( U. A  ~~  T  \/  U. A  e.  T )
)
137136ord 368 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  ( -.  U. A  ~~  T  ->  U. A  e.  T
) )
138126, 137mpd 15 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   Tr wtr 4304   Oncon0 4583   Lim wlim 4584   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   cardccrd 7824   cfccf 7826   Inacc Wcwina 8559   Inacccina 8560   Tarskictsk 8625
This theorem is referenced by:  tskwun  8661  tskint  8662  tskun  8663  tskurn  8666
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-smo 6610  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-har 7528  df-r1 7692  df-card 7828  df-aleph 7829  df-cf 7830  df-acn 7831  df-ac 7999  df-wina 8561  df-ina 8562  df-tsk 8626
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