MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Structured version   Unicode version

Theorem tsms0 18171
Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsms0.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsms0.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsms0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tsms0  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    ph, x    x, V    x,  .0.

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
2 cmnmnd 15427 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 tsms0.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 tsms0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
65gsumz 14781 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
73, 4, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
8 eqid 2436 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 tsms0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
108, 5mndidcl 14714 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
113, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
13 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  .0.  )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  )
1412, 13fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  .0.  ) : A --> ( Base `  G )
)
15 0fin 7336 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
16 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  (/) ) )  ->  .0.  =  .0.  )
1716suppss2 6300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  (/) )
18 ssfi 7329 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  (/) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1915, 17, 18sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
208, 5, 1, 9, 4, 14, 19tsmsid 18169 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  e.  ( G tsums  ( x  e.  A  |->  .0.  )
) )
217, 20eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   "cima 4881   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   Basecbs 13469   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724   Mndcmnd 14684  CMndccmn 15412   TopSpctps 16961   tsums ctsu 18155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-tsms 18156
  Copyright terms: Public domain W3C validator