MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Unicode version

Theorem tsms0 17840
Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsms0.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsms0.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsms0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tsms0  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    ph, x    x, V    x,  .0.

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
2 cmnmnd 15120 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 tsms0.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 tsms0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
65gsumz 14474 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
73, 4, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
8 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 tsms0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
108, 5mndidcl 14407 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
113, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
13 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  .0.  )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  )
1412, 13fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  .0.  ) : A --> ( Base `  G )
)
15 0fin 7103 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
16 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  (/) ) )  ->  .0.  =  .0.  )
1716suppss2 6089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  (/) )
18 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  (/) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1915, 17, 18sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
208, 5, 1, 9, 4, 14, 19tsmsid 17838 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  e.  ( G tsums  ( x  e.  A  |->  .0.  )
) )
217, 20eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  CMndccmn 15105   TopSpctps 16650   tsums ctsu 17824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825
  Copyright terms: Public domain W3C validator