MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsms0 Unicode version

Theorem tsms0 17824
Description: The sum of zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsms0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsms0.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsms0.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsms0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
tsms0  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    ph, x    x, V    x,  .0.

Proof of Theorem tsms0
StepHypRef Expression
1 tsms0.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
2 cmnmnd 15104 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 tsms0.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 tsms0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
65gsumz 14458 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
73, 4, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
8 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 tsms0.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
108, 5mndidcl 14391 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
113, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  .0.  )  =  ( x  e.  A  |->  .0.  )
1412, 13fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  .0.  ) : A --> ( Base `  G )
)
15 0fin 7087 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
16 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  (/) ) )  ->  .0.  =  .0.  )
1716suppss2 6073 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  (/) )
18 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  (/) )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1915, 17, 18sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  .0.  ) " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
208, 5, 1, 9, 4, 14, 19tsmsid 17822 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  .0.  ) )  e.  ( G tsums  ( x  e.  A  |->  .0.  )
) )
217, 20eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G tsums 
( x  e.  A  |->  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   TopSpctps 16634   tsums ctsu 17808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-top 16636  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809
  Copyright terms: Public domain W3C validator