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Theorem tsmscls 18089
Description: One half of tgptsmscls 18101, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmscls.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
Assertion
Ref Expression
tsmscls  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmscls
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscls.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
2 tsmscls.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmscls.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
5 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
6 tsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
7 tsmscls.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmscls.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8tsmsval 18082 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) )
102, 3istps 16925 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
116, 10sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
12 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x 
C_  y } )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )
134, 12, 5, 7tsmsfbas 18079 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
14 fgcl 17832 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
16 tsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
172, 4, 16, 7, 8tsmslem1 18080 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
18 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1917, 18fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )
20 flfval 17944 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  (
( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> B )  ->  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2111, 15, 19, 20syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  =  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
229, 21eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
231, 22eleqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( J 
fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
24 flimsncls 17940 . . 3  |-  ( X  e.  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B  FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( J  fLim  ( ( B 
FilMap  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) ) `  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  x  C_  y } ) ) ) ) )
2625, 22sseqtr4d 3329 1  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  { X } )  C_  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2654    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   {csn 3758    e. cmpt 4208   ran crn 4820    |` cres 4821   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   Basecbs 13397   TopOpenctopn 13577    gsumg cgsu 13652  CMndccmn 15340   fBascfbas 16616   filGencfg 16617  TopOnctopon 16883   TopSpctps 16885   clsccl 17006   Filcfil 17799    FilMap cfm 17887    fLim cflim 17888    fLimf cflf 17889   tsums ctsu 18077
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  18101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-top 16887  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-fil 17800  df-flim 17893  df-flf 17894  df-tsms 18078
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