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Theorem tsmsf1o 18088
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsf1o.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsf1o.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsf1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsf1o.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsf1o.s  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
2 f1opwfi 7338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
4 f1of 5607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
6 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )
76fmpt 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
85, 7sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
9 sseq1 3305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
y  C_  z  <->  ( H " a )  C_  z
) )
109imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
1110ralbidv 2662 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( H "
a )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
126, 11rexrnmpt 5811 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " a )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
14 f1ofo 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
15 forn 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H " a
) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) -onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
163, 14, 153syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
1716rexeqdv 2847 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
18 imaeq2 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  ( H " a )  =  ( H " b
) )
1918cbvmptv 4234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H
" a ) )  =  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
b ) )
2019fmpt 5822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) : ( ~P C  i^i  Fin ) --> ( ~P A  i^i  Fin ) )
215, 20sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H "
b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
22 sseq2 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( H " a
)  C_  z  <->  ( H " a )  C_  ( H " b ) ) )
23 reseq2 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( H " b ) ) )
2423oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) ) )
2524eleq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u ) )
2622, 25imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H "
b )  ->  (
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2719, 26ralrnmpt 5810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( H " b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2821, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u ) ) )
2916raleqdv 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  |->  ( H "
a ) ) ( ( H " a
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3028, 29bitr3d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  ( H " b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b
) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
3130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
32 f1of1 5606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -1-1-> A )
331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-> A
)
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-> A )
35 elfpw 7336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  C  /\  a  e. 
Fin ) )
3635simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  a  C_  C )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  C )
38 elfpw 7336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( b  C_  C  /\  b  e. 
Fin ) )
3938simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  C_  C )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  C_  C )
41 f1imass 5942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  ( a  C_  C  /\  b  C_  C ) )  ->  ( ( H " a )  C_  ( H " b )  <-> 
a  C_  b )
)
4234, 37, 40, 41syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( H " a
)  C_  ( H " b )  <->  a  C_  b ) )
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  G
)
44 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4645ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
4738simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  b  e.  Fin )
4847adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  b  e.  Fin )
49 f1ores 5622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  b  C_  C )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) )
5034, 40, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
) )
51 f1ofo 5614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  |`  b ) : b -1-1-onto-> ( H " b
)  ->  ( H  |`  b ) : b
-onto-> ( H " b
) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H "
b ) )
53 fofi 7321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  ( H  |`  b ) : b -onto-> ( H
" b ) )  ->  ( H "
b )  e.  Fin )
5448, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  e. 
Fin )
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
57 imassrn 5149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H
" b )  C_  ran  H
581ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  H : C -1-1-onto-> A )
59 f1ofo 5614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C -onto-> A )
60 forn 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H : C -onto-> A  ->  ran  H  =  A )
6158, 59, 603syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  H  =  A )
6257, 61syl5sseq 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( H " b )  C_  A )
63 fssres 5543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( H " b ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( H " b ) ) : ( H "
b ) --> B )
6456, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( H "
b ) ) : ( H " b
) --> B )
6554, 64fisuppfi 14693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  ( H " b ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
6643, 44, 46, 54, 64, 65, 50gsumf1o 15442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) ) )
67 df-ima 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( H
" b )  =  ran  ( H  |`  b )
6867eqimss2i 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  ( H  |`  b )  C_  ( H " b )
69 cores 5306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  ( H  |`  b
)  C_  ( H " b )  ->  (
( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) ) )
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
71 resco 5307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  o.  H )  |`  b )  =  ( F  o.  ( H  |`  b ) )
7270, 71eqtr4i 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b
) )  =  ( ( F  o.  H
)  |`  b )
7372oveq2i 6024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  ( H " b ) )  o.  ( H  |`  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )
7466, 73syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) ) )
7574eleq1d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H
)  |`  b ) )  e.  u ) )
7642, 75imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <-> 
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
7776ralbidva 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  ( H " b )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( H " b ) ) )  e.  u )  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
7831, 77bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( ( H "
a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
7978rexbidva 2659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( H
" a )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8013, 17, 793bitr3d 275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
8180imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8281ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) )
8382anbi2d 685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  A. u  e.  (
TopOpen `  G ) ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
84 eqid 2380 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
85 eqid 2380 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
86 tsmsf1o.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
87 tsmsf1o.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8843, 84, 85, 45, 86, 87, 55eltsms 18076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
89 eqid 2380 . . . 4  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  =  ( ~P C  i^i  Fin )
90 f1dmex 5903 . . . . 5  |-  ( ( H : C -1-1-> A  /\  A  e.  V
)  ->  C  e.  _V )
9133, 87, 90syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
92 f1of 5607 . . . . . 6  |-  ( H : C -1-1-onto-> A  ->  H : C
--> A )
931, 92syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : C --> A )
94 fco 5533 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  H : C --> A )  ->  ( F  o.  H ) : C --> B )
9555, 93, 94syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  H
) : C --> B )
9643, 84, 89, 45, 86, 91, 95eltsms 18076 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  o.  H )  |`  b ) )  e.  u ) ) ) ) )
9783, 88, 963bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( G tsums  ( F  o.  H ) ) ) )
9897eqrdv 2378 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  ( F  o.  H )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   {csn 3750    e. cmpt 4200   ran crn 4812    |` cres 4813   "cima 4814    o. ccom 4815   -->wf 5383   -1-1->wf1 5384   -onto->wfo 5385   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   Basecbs 13389   TopOpenctopn 13569   0gc0g 13643    gsumg cgsu 13644  CMndccmn 15332   TopSpctps 16877   tsums ctsu 18069
This theorem is referenced by:  esumf1o  24234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mnd 14610  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-top 16879  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-ntr 17000  df-nei 17078  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-tsms 18070
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