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Theorem tsmsfbas 18157
 Description: The collection of all sets of the form , which can be read as the set of all finite subsets of which contain as a subset, for each finite subset of , form a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsfbas.s
tsmsfbas.f
tsmsfbas.l
tsmsfbas.a
Assertion
Ref Expression
tsmsfbas
Distinct variable groups:   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem tsmsfbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsfbas.a . 2
2 elex 2964 . 2
3 tsmsfbas.l . . 3
4 ssrab2 3428 . . . . . . 7
5 tsmsfbas.s . . . . . . . . . 10
6 pwexg 4383 . . . . . . . . . . 11
7 inex1g 4346 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
95, 8syl5eqel 2520 . . . . . . . . 9
109adantr 452 . . . . . . . 8
11 elpw2g 4363 . . . . . . . 8
1210, 11syl 16 . . . . . . 7
134, 12mpbiri 225 . . . . . 6
14 tsmsfbas.f . . . . . 6
1513, 14fmptd 5893 . . . . 5
16 frn 5597 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
18 0ss 3656 . . . . . . . . . 10
19 0fin 7336 . . . . . . . . . 10
20 elfpw 7408 . . . . . . . . . 10
2118, 19, 20mpbir2an 887 . . . . . . . . 9
2221, 5eleqtrri 2509 . . . . . . . 8
23 0ss 3656 . . . . . . . . 9
2423rgenw 2773 . . . . . . . 8
25 rabid2 2885 . . . . . . . . . 10
26 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11
2726ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10
2825, 27syl5bb 249 . . . . . . . . 9
2928rspcev 3052 . . . . . . . 8
3022, 24, 29mp2an 654 . . . . . . 7
3114elrnmpt 5117 . . . . . . . 8
329, 31syl 16 . . . . . . 7
3330, 32mpbiri 225 . . . . . 6
34 ne0i 3634 . . . . . 6
3533, 34syl 16 . . . . 5
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
37 ssid 3367 . . . . . . . . . . . 12
38 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . 13
3938rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12
4036, 37, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
41 rabn0 3647 . . . . . . . . . . 11
4240, 41sylibr 204 . . . . . . . . . 10
4342necomd 2687 . . . . . . . . 9
4443neneqd 2617 . . . . . . . 8
4544nrexdv 2809 . . . . . . 7
46 0ex 4339 . . . . . . . 8
4714elrnmpt 5117 . . . . . . . 8
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . 7
4945, 48sylnibr 297 . . . . . 6
50 df-nel 2602 . . . . . 6
5149, 50sylibr 204 . . . . 5
52 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453, 5eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756, 5eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5854, 57anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 unss 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15
6058, 59sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
6152simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261, 5eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15
6355simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463, 5eleq2s 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 unfi 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15
6662, 64, 65syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
67 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . 14
6860, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
7069, 5syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . 11
71 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11
72 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
7372rabbidv 2948 . . . . . . . . . . . . 13
7473eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12
7574rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11
7670, 71, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
779adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
78 rabexg 4353 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . 11
80 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180rabbidv 2948 . . . . . . . . . . . . . 14
8281cbvmptv 4300 . . . . . . . . . . . . 13
8314, 82eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12
8483elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . 11
8579, 84syl 16 . . . . . . . . . 10
8676, 85mpbird 224 . . . . . . . . 9
87 pwidg 3811 . . . . . . . . . 10
8879, 87syl 16 . . . . . . . . 9
89 inelcm 3682 . . . . . . . . 9
9086, 88, 89syl2anc 643 . . . . . . . 8
9190ralrimivva 2798 . . . . . . 7
92 rabexg 4353 . . . . . . . . . 10
939, 92syl 16 . . . . . . . . 9
9493ralrimivw 2790 . . . . . . . 8
95 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12
9695rabbidv 2948 . . . . . . . . . . 11
9796cbvmptv 4300 . . . . . . . . . 10
9814, 97eqtri 2456 . . . . . . . . 9
99 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . . . 14
100 inrab 3613 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 unss 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102rabbiia 2946 . . . . . . . . . . . . . . 15
104100, 103eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . 14
10599, 104syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13
106105pweqd 3804 . . . . . . . . . . . 12
107106ineq2d 3542 . . . . . . . . . . 11
108107neeq1d 2614 . . . . . . . . . 10
109108ralbidv 2725 . . . . . . . . 9
11098, 109ralrnmpt 5878 . . . . . . . 8
11194, 110syl 16 . . . . . . 7
11291, 111mpbird 224 . . . . . 6
113 rabexg 4353 . . . . . . . . . 10
1149, 113syl 16 . . . . . . . . 9
115114ralrimivw 2790 . . . . . . . 8
116 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12
117116rabbidv 2948 . . . . . . . . . . 11
118117cbvmptv 4300 . . . . . . . . . 10
11914, 118eqtri 2456 . . . . . . . . 9
120 ineq2 3536 . . . . . . . . . . . 12
121120pweqd 3804 . . . . . . . . . . 11
122121ineq2d 3542 . . . . . . . . . 10
123122neeq1d 2614 . . . . . . . . 9
124119, 123ralrnmpt 5878 . . . . . . . 8
125115, 124syl 16 . . . . . . 7
126125ralbidv 2725 . . . . . 6
127112, 126mpbird 224 . . . . 5
12835, 51, 1273jca 1134 . . . 4
129 isfbas 17861 . . . . 5
1309, 129syl 16 . . . 4
13117, 128, 130mpbir2and 889 . . 3
1323, 131syl5eqel 2520 . 2
1331, 2, 1323syl 19 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   wnel 2600  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799   cmpt 4266   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  cfn 7109  cfbas 16689 This theorem is referenced by:  eltsms  18162  haustsms  18165  tsmscls  18167  tsmsmhm  18175  tsmsadd  18176 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fbas 16699
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