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Theorem tsmsgsum 17821
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 16674 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A
)
1811, 17unssd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  A )
199simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
23 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )  ->  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
25 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A  /\  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin ) )
2618, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  z  =  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
2927, 28syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  C_  z
)
30 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
32 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
3332oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
3433eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3531, 34bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u ) )
3635rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3726, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
38 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
39 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
41 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4313ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
44 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
462, 38, 40, 42, 43, 45, 22gsumres 15197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4746eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4837, 47sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4948rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
50 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A  /\  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
5116, 21, 50sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5339ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5441ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5513ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
56 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z )
5721ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
582, 38, 53, 54, 55, 56, 57gsumres 15197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6058, 59eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6160expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6261ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
63 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  z  <->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z
) )
6463imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6564ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6665rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6752, 62, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6867expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6949, 68impbid 183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
70 disjsn 3693 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7170necon2abii 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7269, 71syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7372imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7473ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
758, 74anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
76 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
772, 3, 76, 39, 1, 41, 13eltsms 17815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
78 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
795, 78syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
802, 38, 39, 41, 13, 21gsumcl 15198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8180snssd 3760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8281, 7sseqtrd 3214 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
83 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8483elcls2 16811 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8579, 82, 84syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8675, 77, 853bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8786eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634   clsccl 16755   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tsmsid  17822  tgptsmscls  17832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-top 16636  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809
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