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Theorem tsmsgsum 18091
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 16926 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 16917 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 cnvimass 5166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A
)
1811, 17unssd 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  A )
199simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
23 unfi 7312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )  ->  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
25 elfpw 7345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A  /\  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin ) )
2618, 24, 25sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssun1 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  z  =  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
2927, 28syl5sseqr 3342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  C_  z
)
30 pm5.5 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
32 reseq2 5083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
3332oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
3433eleq1d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3531, 34bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u ) )
3635rspcv 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3726, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
38 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
39 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4039ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
41 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4313ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
44 ssun2 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
462, 38, 40, 42, 43, 45, 22gsumres 15449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4746eleq1d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4837, 47sylibd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4948rexlimdva 2775 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
50 elfpw 7345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A  /\  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
5116, 21, 50sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5251adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5339ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5441ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5513ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
56 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z )
5721ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
582, 38, 53, 54, 55, 56, 57gsumres 15449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
59 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6058, 59eqeltrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6160expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6261ralrimiva 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
63 sseq1 3314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  z  <->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z
) )
6463imbi1d 309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6564ralbidv 2671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6665rspcev 2997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6752, 62, 66syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6867expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6949, 68impbid 184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
70 disjsn 3813 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7170necon2abii 2607 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7269, 71syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7372imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7473ralbidva 2667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
758, 74anbi12d 692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
76 eqid 2389 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
772, 3, 76, 39, 1, 41, 13eltsms 18085 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
78 topontop 16916 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
795, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
802, 38, 39, 41, 13, 21gsumcl 15450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8180snssd 3888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8281, 7sseqtrd 3329 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
83 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8483elcls2 17063 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8579, 82, 84syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8675, 77, 853bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8786eqrdv 2387 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    \ cdif 3262    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   {csn 3759   U.cuni 3959   `'ccnv 4819   dom cdm 4820    |` cres 4822   "cima 4823   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   Basecbs 13398   TopOpenctopn 13578   0gc0g 13652    gsumg cgsu 13653  CMndccmn 15341   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   TopSpctps 16886   clsccl 17007   tsums ctsu 18078
This theorem is referenced by:  tsmsid  18092  tgptsmscls  18102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-hash 11548  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-mnd 14619  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-tsms 18079
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