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Theorem tsmsgsum 17837
Description: The convergent points of a finite topological group sum are the closure of the finite group sum operation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
tsmsgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tsmsgsum  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )

Proof of Theorem tsmsgsum
Dummy variables  y 
z  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmsgsum.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 16690 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
87eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  U. J ) )
9 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
109simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
12 cnvimass 5049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  dom  F
13 tsmsid.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
14 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
1612, 15syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  A
)
1811, 17unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  A )
199simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
21 tsmsid.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
23 unfi 7140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )  ->  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
25 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  A  /\  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin ) )
2618, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
27 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  C_  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  z  =  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
2927, 28syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  C_  z
)
30 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
32 reseq2 4966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )
3332oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3531, 34bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( ( y 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u ) )
3635rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
3726, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) )  e.  u
) )
38 tsmsid.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
39 tsmsid.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
41 tsmsid.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
4313ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
44 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
4544a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )
462, 38, 40, 42, 43, 45, 22gsumres 15213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
4746eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4837, 47sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  J )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
4948rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
50 elfpw 7173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  A  /\  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin ) )
5116, 21, 50sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
5339ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  G  e. CMnd )
5441ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  A  e.  V )
5513ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  ->  F : A --> B )
56 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z )
5721ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
582, 38, 53, 54, 55, 56, 57gsumres 15213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  F ) )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  F )  e.  u
)
6058, 59eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)
6160expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6261ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
63 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( y  C_  z  <->  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z
) )
6463imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6564ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) ) )
6665rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6752, 62, 66syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  J  /\  ( G  gsumg  F )  e.  u
) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
6867expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( G  gsumg  F )  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6949, 68impbid 183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  F )  e.  u ) )
70 disjsn 3706 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =  (/)  <->  -.  ( G  gsumg  F )  e.  u )
7170necon2abii 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  u  <->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) )
7269, 71syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( u  i^i 
{ ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) )
7372imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
7473ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G 
gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) )
758, 74anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
76 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
772, 3, 76, 39, 1, 41, 13eltsms 17831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
78 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
795, 78syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
802, 38, 39, 41, 13, 21gsumcl 15214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
8180snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
8281, 7sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )
83 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
8483elcls2 16827 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. J )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8579, 82, 84syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  ( u  i^i  { ( G  gsumg  F ) } )  =/=  (/) ) ) ) )
8675, 77, 853bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) ) )
8786eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  J ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650   clsccl 16771   tsums ctsu 17824
This theorem is referenced by:  tsmsid  17838  tgptsmscls  17848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tsms 17825
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