MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Unicode version

Theorem tsmsi 17912
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsi.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmsi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tsmsi.5  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tsmsi  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, B    y, z, F    y, G, z    z, J    z, A    ph, y, z    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 tsmsi.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
3 eltsms.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eltsms.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 eltsms.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 eltsms.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
7 eltsms.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eltsms.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 eltsms.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 17911 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
1211simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
13 tsmsi.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
14 eleq2 2419 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  U ) )
15 eleq2 2419 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
1615imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  U ) ) )
1716rexralbidv 2663 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) )
1814, 17imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  <->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  U ) ) ) )
1918rspcv 2956 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  ->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) ) )
201, 12, 13, 19syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701    |` cres 4770   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Fincfn 6948   Basecbs 13239   TopOpenctopn 13419    gsumg cgsu 13494  CMndccmn 15182   TopSpctps 16734   tsums ctsu 17904
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  17931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mnd 14460  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-top 16736  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-ntr 16857  df-nei 16935  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-tsms 17905
  Copyright terms: Public domain W3C validator