MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Unicode version

Theorem tsmsi 17816
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsi.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmsi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tsmsi.5  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tsmsi  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, B    y, z, F    y, G, z    z, J    z, A    ph, y, z    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 tsmsi.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
3 eltsms.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eltsms.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 eltsms.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 eltsms.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
7 eltsms.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eltsms.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 eltsms.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 17815 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
1211simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
13 tsmsi.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
14 eleq2 2344 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  U ) )
15 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
1615imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  U ) ) )
1716rexralbidv 2587 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) )
1814, 17imbi12d 311 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  <->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  U ) ) ) )
1918rspcv 2880 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  ->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) ) )
201, 12, 13, 19syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   TopSpctps 16634   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  17835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-top 16636  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809
  Copyright terms: Public domain W3C validator