MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Unicode version

Theorem tsmsi 18120
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsi.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmsi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tsmsi.5  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tsmsi  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, B    y, z, F    y, G, z    z, J    z, A    ph, y, z    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 tsmsi.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
3 eltsms.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eltsms.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 eltsms.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 eltsms.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
7 eltsms.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eltsms.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 eltsms.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 18119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
1211simprd 450 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
13 tsmsi.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
14 eleq2 2469 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  U ) )
15 eleq2 2469 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  U ) ) )
1716rexralbidv 2714 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) )
1814, 17imbi12d 312 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  <->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  U ) ) ) )
1918rspcv 3012 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  ->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) ) )
201, 12, 13, 19syl3c 59 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763    |` cres 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   Basecbs 13428   TopOpenctopn 13608    gsumg cgsu 13683  CMndccmn 15371   TopSpctps 16920   tsums ctsu 18112
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  18139
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mnd 14649  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-top 16922  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-ntr 17043  df-nei 17121  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-tsms 18113
  Copyright terms: Public domain W3C validator