MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Unicode version

Theorem tsmsi 18168
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsi.3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmsi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tsmsi.5  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tsmsi  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    y, B    y, z, F    y, G, z    z, J    z, A    ph, y, z    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.4 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 tsmsi.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( G tsums 
F ) )
3 eltsms.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eltsms.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
5 eltsms.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
6 eltsms.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
7 eltsms.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eltsms.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 eltsms.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9eltsms 18167 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
1211simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) )
13 tsmsi.5 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
14 eleq2 2499 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( C  e.  u  <->  C  e.  U ) )
15 eleq2 2499 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
1615imbi2d 309 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  U ) ) )
1716rexralbidv 2751 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
)  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) )
1814, 17imbi12d 313 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  <->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  U ) ) ) )
1918rspcv 3050 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )  ->  ( C  e.  U  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  (
z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) ) ) )
201, 12, 13, 19syl3c 60 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801    |` cres 4883   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   Basecbs 13474   TopOpenctopn 13654    gsumg cgsu 13729  CMndccmn 15417   TopSpctps 16966   tsums ctsu 18160
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  18187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161
  Copyright terms: Public domain W3C validator