MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsid Structured version   Unicode version

Theorem tsmsid 18174
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
tsmsid  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsid
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
42, 3istps 17006 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
51, 4sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
6 topontop 16996 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
8 tsmsid.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsid.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
10 tsmsid.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 tsmsid.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
12 tsmsid.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumcl 15526 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
1413snssd 3945 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
15 toponuni 16997 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
1714, 16sseqtrd 3386 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen
`  G ) )
18 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  G )  = 
U. ( TopOpen `  G
)
1918sscls 17125 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen `  G )
)  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
207, 17, 19syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
21 ovex 6109 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  F )  e.  _V
2221snss 3928 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
2320, 22sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsum 18173 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  ( TopOpen `  G )
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) )
2523, 24eleqtrrd 2515 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   Basecbs 13474   TopOpenctopn 13654   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729  CMndccmn 15417   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   TopSpctps 16966   clsccl 17087   tsums ctsu 18160
This theorem is referenced by:  haustsmsid  18175  tsms0  18176  tayl0  20283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161
  Copyright terms: Public domain W3C validator