MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsid Unicode version

Theorem tsmsid 18130
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
tsmsid  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsid
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
42, 3istps 16964 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
51, 4sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
6 topontop 16954 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
8 tsmsid.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsid.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
10 tsmsid.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 tsmsid.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
12 tsmsid.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumcl 15484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
1413snssd 3911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
15 toponuni 16955 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
165, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
1714, 16sseqtrd 3352 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen
`  G ) )
18 eqid 2412 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  G )  = 
U. ( TopOpen `  G
)
1918sscls 17083 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen `  G )
)  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
207, 17, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
21 ovex 6073 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  F )  e.  _V
2221snss 3894 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
2320, 22sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsum 18129 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  ( TopOpen `  G )
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) )
2523, 24eleqtrrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   {csn 3782   U.cuni 3983   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   Basecbs 13432   TopOpenctopn 13612   0gc0g 13686    gsumg cgsu 13687  CMndccmn 15375   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   TopSpctps 16924   clsccl 17045   tsums ctsu 18116
This theorem is referenced by:  haustsmsid  18131  tsms0  18132  tayl0  20239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-top 16926  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-tsms 18117
  Copyright terms: Public domain W3C validator