Theorem tsmsid 18130

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2412	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 16964	. . . . . 6 |- ( G e. TopSp <-> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 189	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
6		topontop 16954	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 15484	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
14	13	snssd 3911	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
15		toponuni 16955	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
16	5, 15	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
17	14, 16	sseqtrd 3352	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) )
18		eqid 2412	. . . . 5 |- U. ( TopOpen ` G ) = U. ( TopOpen ` G )
19	18	sscls 17083	. . . 4 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) ) -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
20	7, 17, 19	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
21		ovex 6073	. . . 4 |- ( G gsumg F ) e. _V
22	21	snss 3894	. . 3 |- ( ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
23	20, 22	sylibr 204	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 18129	. 2 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
25	23, 24	eleqtrrd 2489	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2924   \ cdif 3285   C_ wss 3288   {csn 3782   U.cuni 3983   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   Basecbs 13432   TopOpenctopn 13612   0gc0g 13686   gsum_g cgsu 13687  CMndccmn 15375   Topctop 16921  TopOnctopon 16922   TopSpctps 16924   clsccl 17045   tsums ctsu 18116

This theorem is referenced by:  haustsmsid  18131  tsms0  18132  tayl0  20239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-top 16926  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-tsms 18117