MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsid Unicode version

Theorem tsmsid 17918
Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsid.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsid.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsid.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsid.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsid.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsid.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
tsmsid  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsid
StepHypRef Expression
1 tsmsid.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
2 tsmsid.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
42, 3istps 16774 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
51, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )
)
6 topontop 16764 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  G )  e.  Top )
8 tsmsid.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsid.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
10 tsmsid.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
11 tsmsid.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
12 tsmsid.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
132, 8, 9, 10, 11, 12gsumcl 15291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
1413snssd 3839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  B )
15 toponuni 16765 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
165, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( TopOpen
`  G ) )
1714, 16sseqtrd 3290 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen
`  G ) )
18 eqid 2358 . . . . 5  |-  U. ( TopOpen
`  G )  = 
U. ( TopOpen `  G
)
1918sscls 16893 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  Top  /\  { ( G  gsumg  F ) }  C_  U. ( TopOpen `  G )
)  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
207, 17, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
21 ovex 5967 . . . 4  |-  ( G 
gsumg  F )  e.  _V
2221snss 3824 . . 3  |-  ( ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } )  <->  { ( G  gsumg  F ) }  C_  ( ( cls `  ( TopOpen `  G
) ) `  {
( G  gsumg  F ) } ) )
2320, 22sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( ( cls `  ( TopOpen
`  G ) ) `
 { ( G 
gsumg  F ) } ) )
242, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3tsmsgsum 17917 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( cls `  ( TopOpen `  G )
) `  { ( G  gsumg  F ) } ) )
2523, 24eleqtrrd 2435 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   U.cuni 3906   `'ccnv 4767   "cima 4771   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Fincfn 6948   Basecbs 13239   TopOpenctopn 13419   0gc0g 13493    gsumg cgsu 13494  CMndccmn 15182   Topctop 16731  TopOnctopon 16732   TopSpctps 16734   clsccl 16855   tsums ctsu 17904
This theorem is referenced by:  haustsmsid  17919  tsms0  17920  tayl0  19839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-hash 11428  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-mnd 14460  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-top 16736  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-tsms 17905
  Copyright terms: Public domain W3C validator