Theorem tsmsid 18174

Description: If a sum is finite, the usual sum is always a limit point of the topological sum (although it may not be the only limit point). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsid.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsid.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsid.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsid.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsid.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsid.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsid.w	|- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
tsmsid	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Proof of Theorem tsmsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsid.2	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TopSp )
2		tsmsid.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
4	2, 3	istps 17006	. . . . . 6 |- ( G e. TopSp <-> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
5	1, 4	sylib 190	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) )
6		topontop 16996	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen ` G ) e. Top )
8		tsmsid.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		tsmsid.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
10		tsmsid.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
11		tsmsid.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> B )
12		tsmsid.w	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { .0. } ) ) e. Fin )
13	2, 8, 9, 10, 11, 12	gsumcl 15526	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. B )
14	13	snssd 3945	. . . . 5 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ B )
15		toponuni 16997	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` B ) -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
16	5, 15	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B = U. ( TopOpen ` G ) )
17	14, 16	sseqtrd 3386	. . . 4 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) )
18		eqid 2438	. . . . 5 |- U. ( TopOpen ` G ) = U. ( TopOpen ` G )
19	18	sscls 17125	. . . 4 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. Top /\ { ( G gsumg F ) } C_ U. ( TopOpen ` G ) ) -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
20	7, 17, 19	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
21		ovex 6109	. . . 4 |- ( G gsumg F ) e. _V
22	21	snss 3928	. . 3 |- ( ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) <-> { ( G gsumg F ) } C_ ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
23	20, 22	sylibr 205	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
24	2, 8, 9, 1, 10, 11, 12, 3	tsmsgsum 18173	. 2 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( ( cls ` ( TopOpen ` G ) ) ` { ( G gsumg F ) } ) )
25	23, 24	eleqtrrd 2515	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G tsums F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1726   _Vcvv 2958   \ cdif 3319   C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Fincfn 7112   Basecbs 13474   TopOpenctopn 13654   0gc0g 13728   gsum_g cgsu 13729  CMndccmn 15417   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   TopSpctps 16966   clsccl 17087   tsums ctsu 18160

This theorem is referenced by:  haustsmsid  18175  tsms0  18176  tayl0  20283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-tsms 18161