MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmslem1 Unicode version

Theorem tsmslem1 18115
Description: The finite partial sums of a function  F are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmslem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmslem1.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
tsmslem1.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmslem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
tsmslem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tsmslem1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )

Proof of Theorem tsmslem1
StepHypRef Expression
1 tsmslem1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2408 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 tsmslem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
43adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
5 simpr 448 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
6 tsmslem1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  F : A --> B )
8 tsmslem1.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
95, 8syl6eleq 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
10 elfpw 7370 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( X  C_  A  /\  X  e. 
Fin ) )
1110simplbi 447 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  C_  A )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  A )
13 fssres 5573 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  X  C_  A )  -> 
( F  |`  X ) : X --> B )
147, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( F  |`  X ) : X --> B )
1510simprbi 451 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  e.  Fin )
169, 15syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  Fin )
1716, 14fisuppfi 14732 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( `' ( F  |`  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
181, 2, 4, 5, 14, 17gsumcl 15480 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   {csn 3778    |` cres 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   Basecbs 13428   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683  CMndccmn 15371
This theorem is referenced by:  eltsms  18119  haustsms  18122  tsmscls  18124  tsmsmhm  18132  tsmsadd  18133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mnd 14649  df-cntz 15075  df-cmn 15373
  Copyright terms: Public domain W3C validator