MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmslem1 Unicode version

Theorem tsmslem1 17913
Description: The finite partial sums of a function  F are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmslem1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmslem1.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
tsmslem1.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmslem1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
tsmslem1.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tsmslem1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )

Proof of Theorem tsmslem1
StepHypRef Expression
1 tsmslem1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2358 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 tsmslem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
43adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  G  e. CMnd )
5 simpr 447 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  S )
6 tsmslem1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  F : A --> B )
8 tsmslem1.s . . . . 5  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
95, 8syl6eleq 2448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
10 elfpw 7247 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( X  C_  A  /\  X  e. 
Fin ) )
1110simplbi 446 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  C_  A )
129, 11syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  C_  A )
13 fssres 5491 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  X  C_  A )  -> 
( F  |`  X ) : X --> B )
147, 12, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( F  |`  X ) : X --> B )
1510simprbi 450 . . . 4  |-  ( X  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  X  e.  Fin )
169, 15syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  X  e.  Fin )
1716, 14fisuppfi 14549 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( `' ( F  |`  X ) " ( _V  \  { ( 0g
`  G ) } ) )  e.  Fin )
181, 2, 4, 5, 14, 17gsumcl 15297 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  X ) )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716    |` cres 4773   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   Basecbs 13245   0gc0g 13499    gsumg cgsu 13500  CMndccmn 15188
This theorem is referenced by:  eltsms  17917  haustsms  17920  tsmscls  17922  tsmsmhm  17930  tsmsadd  17931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mnd 14466  df-cntz 14892  df-cmn 15190
  Copyright terms: Public domain W3C validator