Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmspropd Structured version   Unicode version

Theorem tsmspropd 18162
 Description: The group sum depends only on the base set, additive operation, and topology components. Note that for entirely unrestricted functions, there can be dependency on out-of-domain values of the operation, so this is somewhat weaker than mndpropd 14722 etc. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmspropd.f
tsmspropd.g
tsmspropd.h
tsmspropd.b
tsmspropd.p
tsmspropd.j
Assertion
Ref Expression
tsmspropd tsums tsums

Proof of Theorem tsmspropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmspropd.j . . . 4
21oveq1d 6097 . . 3
3 tsmspropd.f . . . . . 6
4 resexg 5186 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 tsmspropd.g . . . . 5
7 tsmspropd.h . . . . 5
8 tsmspropd.b . . . . 5
9 tsmspropd.p . . . . 5
105, 6, 7, 8, 9gsumpropd 14777 . . . 4 g g
1110mpteq2dv 4297 . . 3 g g
122, 11fveq12d 5735 . 2 g g
13 eqid 2437 . . 3
14 eqid 2437 . . 3
15 eqid 2437 . . 3
16 eqid 2437 . . 3
17 eqidd 2438 . . 3
1813, 14, 15, 16, 6, 3, 17tsmsval2 18160 . 2 tsums g
19 eqid 2437 . . 3
20 eqid 2437 . . 3
2119, 20, 15, 16, 7, 3, 17tsmsval2 18160 . 2 tsums g
2212, 18, 213eqtr4d 2479 1 tsums tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  crab 2710  cvv 2957   cin 3320   wss 3321  cpw 3800   cmpt 4267   cdm 4879   crn 4880   cres 4881  cfv 5455  (class class class)co 6082  cfn 7110  cbs 13470   cplusg 13530  ctopn 13650   g cgsu 13725  cfg 16691   cflf 17968   tsums ctsu 18156 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-seq 11325  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-tsms 18157
 Copyright terms: Public domain W3C validator