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Theorem tsmsres 17826
Description: Extend an infinite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsres.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsres.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsres.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsres.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmsres.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmsres.s  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
Assertion
Ref Expression
tsmsres  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )

Proof of Theorem tsmsres
Dummy variables  a 
b  u  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  W )  C_  A
2 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  W ) 
C_  A  <->  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A )
31, 2mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P ( A  i^i  W )  C_  ~P A
4 ssrin 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  C_  ~P A  ->  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
)
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )
6 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
75, 6sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  a  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
8 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  A  /\  z  e. 
Fin ) )
98simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  C_  A )
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  C_  A
)
11 ssrin 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  A  ->  (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  C_  ( A  i^i  W ) )
138simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
15 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  W )  C_  z
16 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  ( z  i^i  W
)  C_  z )  ->  ( z  i^i  W
)  e.  Fin )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  Fin )
18 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
z  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( z  i^i  W )  e.  Fin ) )
1912, 17, 18sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( z  i^i 
W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)
20 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) ) )
21 ssin 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  C_  z  /\  a  C_  W )  <->  a  C_  ( z  i^i  W
) )
2220, 21syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
23 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) ) )
24 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  i^i  W )  C_  W
25 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  W ) 
C_  W  ->  (
( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  W )  |`  ( z  i^i  W
) )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
2723, 26syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
2827oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
2928eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) )
3022, 29imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( z  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3130rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
3219, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( (
a  C_  z  /\  a  C_  W )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
33 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( a  C_  ( A  i^i  W
)  /\  a  e.  Fin ) )
3433simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  a  C_  ( A  i^i  W
) )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  ( A  i^i  W ) )
36 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  W )  C_  W
3735, 36syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  a  C_  W
)
3837biantrud 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( a  C_  z  /\  a  C_  W ) ) )
39 resres 4968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  |`  z )  |`  W )  =  ( F  |`  ( z  i^i  W ) )
4039oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )
41 tsmsres.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  G
)
42 tsmsres.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
43 tsmsres.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
45 tsmsres.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> B )
47 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  C_  A )  -> 
( F  |`  z
) : z --> B )
4846, 10, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  z ) : z --> B )
49 resss 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  |`  z )  C_  F
50 cnvss 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  z )  C_  F  ->  `' ( F  |`  z )  C_  `' F )
51 imass1 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( F  |`  z
)  C_  `' F  ->  ( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5249, 50, 51mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( F  |`  z
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
53 tsmsres.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
5552, 54syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  W )
5614, 48fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  z ) " ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
5741, 42, 44, 14, 48, 55, 56gsumres 15197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  z )  |`  W ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
5840, 57syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) ) )
5958eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( z  i^i  W ) ) )  e.  u ) )
6038, 59imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( a 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( ( a 
C_  z  /\  a  C_  W )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
z  i^i  W )
) )  e.  u
) ) )
6132, 60sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z )
)  e.  u ) ) )
6261ralrimdva 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
63 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
y  C_  z  <->  a  C_  z ) )
6463imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6564ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6665rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( a  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
) )
677, 62, 66ee12an 1353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
)  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) ( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
6867rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
69 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
7069simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
72 ssrin 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
) )
7469simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
7574adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
76 inss1 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  W )  C_  y
77 ssfi 7083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( y  i^i  W
)  C_  y )  ->  ( y  i^i  W
)  e.  Fin )
7875, 76, 77sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  Fin )
79 elfpw 7157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( (
y  i^i  W )  C_  ( A  i^i  W
)  /\  ( y  i^i  W )  e.  Fin ) )
8073, 78, 79sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
y  i^i  W )  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )
8170ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
y  C_  A )
82 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  <->  ( b  C_  ( A  i^i  W
)  /\  b  e.  Fin ) )
8382simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  C_  ( A  i^i  W
) )
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  ( A  i^i  W ) )
8584, 1syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  A )
8681, 85unssd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  C_  A )
8782simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )  ->  b  e.  Fin )
88 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  b  e.  Fin )  ->  ( y  u.  b
)  e.  Fin )
8975, 87, 88syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  Fin )
90 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( (
y  u.  b ) 
C_  A  /\  (
y  u.  b )  e.  Fin ) )
9186, 89, 90sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( y  u.  b
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
92 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  C_  ( y  u.  b
)
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  z  =  ( y  u.  b ) )
9492, 93syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  y  C_  z )
95 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
9694, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) )
97 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )
9897oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) ) )
9998eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
10096, 99bitrd 244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( y  u.  b )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u ) )
101100rspcv 2880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  u.  b )  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  e.  u ) )
10291, 101syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u
) )
10343ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  G  e. CMnd )
10489adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  e.  Fin )
10545ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  F : A
--> B )
10686adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  u.  b )  C_  A
)
107 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( y  u.  b
)  C_  A )  ->  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) : ( y  u.  b ) --> B )
108105, 106, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) : ( y  u.  b ) --> B )
109 resss 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  |`  ( y  u.  b
) )  C_  F
110 cnvss 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  C_  F  ->  `' ( F  |`  ( y  u.  b
) )  C_  `' F )
111 imass1 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( F  |`  (
y  u.  b ) )  C_  `' F  ->  ( `' ( F  |`  ( y  u.  b
) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
112109, 110, 111mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' ( F  |`  (
y  u.  b ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) )
11353ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  W )
114112, 113syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( `' ( F  |`  ( y  u.  b ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  W )
115104, 108fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( `' ( F  |`  ( y  u.  b ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
11641, 42, 103, 104, 108, 114, 115gsumres 15197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) ) )
117 resres 4968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  ( (
y  u.  b )  i^i  W ) )
118 indir 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  u.  b )  i^i  W )  =  ( ( y  i^i 
W )  u.  (
b  i^i  W )
)
11984, 36syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
b  C_  W )
120119adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  b  C_  W )
121 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b 
C_  W  <->  ( b  i^i  W )  =  b )
122120, 121sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( b  i^i  W )  =  b )
123122uneq2d 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  ( ( y  i^i  W
)  u.  b ) )
124 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( y  i^i  W )  C_  b
)
125 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  <->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
126124, 125sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  b )  =  b )
127123, 126eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  i^i  W )  u.  ( b  i^i  W
) )  =  b )
128118, 127syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( (
y  u.  b )  i^i  W )  =  b )
129128reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( F  |`  ( ( y  u.  b )  i^i  W
) )  =  ( F  |`  b )
)
130117, 129syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( F  |`  b )
)
131 resabs1 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b 
C_  W  ->  (
( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  b )
)
132120, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  W )  |`  b )  =  ( F  |`  b )
)
133130, 132eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( F  |`  ( y  u.  b ) )  |`  W )  =  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )
134133oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  (
y  u.  b ) )  |`  W )
)  =  ( G 
gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) ) )
135116, 134eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b ) ) )  =  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) ) )
136135eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  <->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
137136biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  ( y  i^i  W
)  C_  b )
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  (
y  u.  b ) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
138137expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
139138com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( y  u.  b
) ) )  e.  u  ->  ( (
y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
140102, 139syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  (
( y  i^i  W
)  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
141140ralrimdva 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( ( y  i^i  W ) 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
142 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
a  C_  b  <->  ( y  i^i  W )  C_  b
) )
143142imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  (
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  ( ( y  i^i  W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b ) )  e.  u ) ) )
144143ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( y  i^i 
W )  ->  ( A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
145144rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  i^i  W
)  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  /\  A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin )
( ( y  i^i 
W )  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )
14680, 141, 145ee12an 1353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  u
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
147146rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u )  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )
14868, 147impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
)  <->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) )
149148imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin ) ( a 
C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
150149ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) )
151150anbi2d 684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
152 eqid 2283 . . . 4  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
153 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )  =  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i 
Fin )
154 tsmsres.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
155 tsmsres.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
156 inex1g 4157 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  W )  e. 
_V )
157155, 156syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  W
)  e.  _V )
158 fssres 5408 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( A  i^i  W ) 
C_  A )  -> 
( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
15945, 1, 158sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B )
160 resres 4968 . . . . . . 7  |-  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )
161 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
162 fnresdm 5353 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
16345, 161, 1623syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
164163reseq1d 4954 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  A )  |`  W )  =  ( F  |`  W ) )
165160, 164syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( A  i^i  W ) )  =  ( F  |`  W ) )
166165feq1d 5379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  ( A  i^i  W ) ) : ( A  i^i  W ) --> B  <-> 
( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B ) )
167159, 166mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  W ) : ( A  i^i  W ) --> B )
16841, 152, 153, 43, 154, 157, 167eltsms 17815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. a  e.  ( ~P ( A  i^i  W )  i^i  Fin ) A. b  e.  ( ~P ( A  i^i  W
)  i^i  Fin )
( a  C_  b  ->  ( G  gsumg  ( ( F  |`  W )  |`  b
) )  e.  u
) ) ) ) )
169 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
17041, 152, 169, 43, 154, 155, 45eltsms 17815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  B  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) )  e.  u ) ) ) ) )
171151, 168, 1703bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  <->  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
172171eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  W ) )  =  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   TopSpctps 16634   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tsmssplit  17834  esumss  23440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-top 16636  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tsms 17809
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