Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Unicode version

Theorem tsmssplit 17850
 Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b
tsmssplit.p
tsmssplit.1 CMnd
tsmssplit.2 TopMnd
tsmssplit.a
tsmssplit.f
tsmssplit.x tsums
tsmssplit.y tsums
tsmssplit.i
tsmssplit.u
Assertion
Ref Expression
tsmssplit tsums

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3
2 tsmssplit.p . . 3
3 tsmssplit.1 . . 3 CMnd
4 tsmssplit.2 . . 3 TopMnd
5 tsmssplit.a . . 3
6 tsmssplit.f . . . . . 6
7 ffvelrn 5679 . . . . . 6
86, 7sylan 457 . . . . 5
9 cmnmnd 15120 . . . . . . . 8 CMnd
103, 9syl 15 . . . . . . 7
11 eqid 2296 . . . . . . . 8
121, 11mndidcl 14407 . . . . . . 7
1310, 12syl 15 . . . . . 6
1413adantr 451 . . . . 5
15 ifcl 3614 . . . . 5
168, 14, 15syl2anc 642 . . . 4
17 eqid 2296 . . . 4
1816, 17fmptd 5700 . . 3
19 ifcl 3614 . . . . 5
208, 14, 19syl2anc 642 . . . 4
21 eqid 2296 . . . 4
2220, 21fmptd 5700 . . 3
23 tsmssplit.x . . . 4 tsums
246feqmptd 5591 . . . . . . . 8
2524reseq1d 4970 . . . . . . 7
26 ssun1 3351 . . . . . . . . 9
27 tsmssplit.u . . . . . . . . 9
2826, 27syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8
29 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10
3029mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9
31 resmpt 5016 . . . . . . . . 9
32 resmpt 5016 . . . . . . . . 9
3330, 31, 323eqtr4a 2354 . . . . . . . 8
3428, 33syl 15 . . . . . . 7
3525, 34eqtr4d 2331 . . . . . 6
3635oveq2d 5890 . . . . 5 tsums tsums
37 tmdtps 17775 . . . . . . 7 TopMnd
384, 37syl 15 . . . . . 6
39 eldifn 3312 . . . . . . . . 9
4039adantl 452 . . . . . . . 8
41 iffalse 3585 . . . . . . . 8
4240, 41syl 15 . . . . . . 7
4342suppss2 6089 . . . . . 6
441, 11, 3, 38, 5, 18, 43tsmsres 17842 . . . . 5 tsums tsums
4536, 44eqtrd 2328 . . . 4 tsums tsums
4623, 45eleqtrd 2372 . . 3 tsums
47 tsmssplit.y . . . 4 tsums
4824reseq1d 4970 . . . . . . 7
49 ssun2 3352 . . . . . . . . 9
5049, 27syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8
51 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10
5251mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9
53 resmpt 5016 . . . . . . . . 9
54 resmpt 5016 . . . . . . . . 9
5552, 53, 543eqtr4a 2354 . . . . . . . 8
5650, 55syl 15 . . . . . . 7
5748, 56eqtr4d 2331 . . . . . 6
5857oveq2d 5890 . . . . 5 tsums tsums
59 eldifn 3312 . . . . . . . . 9
6059adantl 452 . . . . . . . 8
61 iffalse 3585 . . . . . . . 8
6260, 61syl 15 . . . . . . 7
6362suppss2 6089 . . . . . 6
641, 11, 3, 38, 5, 22, 63tsmsres 17842 . . . . 5 tsums tsums
6558, 64eqtrd 2328 . . . 4 tsums tsums
6647, 65eleqtrd 2372 . . 3 tsums
671, 2, 3, 4, 5, 18, 22, 46, 66tsmsadd 17845 . 2 tsums
6829adantl 452 . . . . . . . . 9
69 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15
70 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7270, 71mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15
7369, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
75 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75sylnib 295 . . . . . . . . . . . 12
77 imnan 411 . . . . . . . . . . . 12
7876, 77sylibr 203 . . . . . . . . . . 11
7978imp 418 . . . . . . . . . 10
8079, 61syl 15 . . . . . . . . 9
8168, 80oveq12d 5892 . . . . . . . 8
821, 2, 11mndrid 14410 . . . . . . . . . . 11
8310, 82sylan 457 . . . . . . . . . 10
848, 83syldan 456 . . . . . . . . 9
8584adantr 451 . . . . . . . 8
8681, 85eqtrd 2328 . . . . . . 7
8778con2d 107 . . . . . . . . . . 11
8887imp 418 . . . . . . . . . 10
8988, 41syl 15 . . . . . . . . 9
9051adantl 452 . . . . . . . . 9
9189, 90oveq12d 5892 . . . . . . . 8
921, 2, 11mndlid 14409 . . . . . . . . . . 11
9310, 92sylan 457 . . . . . . . . . 10
948, 93syldan 456 . . . . . . . . 9
9594adantr 451 . . . . . . . 8
9691, 95eqtrd 2328 . . . . . . 7
9727eleq2d 2363 . . . . . . . . 9
98 elun 3329 . . . . . . . . 9
9997, 98syl6bb 252 . . . . . . . 8
10099biimpa 470 . . . . . . 7
10186, 96, 100mpjaodan 761 . . . . . 6
102101mpteq2dva 4122 . . . . 5
10324, 102eqtr4d 2331 . . . 4
104 eqidd 2297 . . . . 5
105 eqidd 2297 . . . . 5
1065, 16, 20, 104, 105offval2 6111 . . . 4
107103, 106eqtr4d 2331 . . 3
108107oveq2d 5890 . 2 tsums tsums
10967, 108eleqtrrd 2373 1 tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   cdif 3162   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cif 3578   cmpt 4093   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  cmnd 14377  CMndccmn 15105  ctps 16650  TopMndctmd 17769   tsums ctsu 17824 This theorem is referenced by:  esumsplit  23446 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-submnd 14432  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tmd 17771  df-tsms 17825
 Copyright terms: Public domain W3C validator