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Theorem tsmssplit 18103
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmssplit.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssplit.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tsmssplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssplit.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
tsmssplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
tsmssplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
tsmssplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssplit  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 tsmssplit.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 tsmssplit.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssplit.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tsmssplit.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 tsmssplit.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76ffvelrnda 5810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
8 cmnmnd 15355 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
10 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
111, 10mndidcl 14642 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  B )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
14 ifcl 3719 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
157, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
16 eqid 2388 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
1715, 16fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
18 ifcl 3719 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
197, 13, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
20 eqid 2388 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
2119, 20fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
22 tsmssplit.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
236feqmptd 5719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
2423reseq1d 5086 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  C ) )
25 ssun1 3454 . . . . . . . . 9  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
26 tsmssplit.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
2725, 26syl5sseqr 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
28 iftrue 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
2928mpteq2ia 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `
 k ) )
30 resmpt 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
31 resmpt 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `  k ) ) )
3229, 30, 313eqtr4a 2446 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3327, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3424, 33eqtr4d 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  C )
)
3534oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) ) )
36 tmdtps 18028 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  TopSp )
374, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
38 eldifn 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  -.  k  e.  C )
3938adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  -.  k  e.  C )
40 iffalse 3690 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  if (
k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4241suppss2 6240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  C
)
431, 10, 3, 37, 5, 17, 42tsmsres 18095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
4435, 43eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
4522, 44eleqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
46 tsmssplit.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
4723reseq1d 5086 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  D ) )
48 ssun2 3455 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4948, 26syl5sseqr 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
50 iftrue 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
5150mpteq2ia 4233 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `
 k ) )
52 resmpt 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
53 resmpt 5132 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `  k ) ) )
5451, 52, 533eqtr4a 2446 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5549, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5647, 55eqtr4d 2423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  D )
)
5756oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) ) )
58 eldifn 3414 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  D )  ->  -.  k  e.  D )
5958adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  -.  k  e.  D )
60 iffalse 3690 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  if (
k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
6261suppss2 6240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  D
)
631, 10, 3, 37, 5, 21, 62tsmsres 18095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
6457, 63eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
6546, 64eleqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
661, 2, 3, 4, 5, 17, 21, 45, 65tsmsadd 18098 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) ) )
6728adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
68 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
69 noel 3576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  k  e.  (/)
70 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  k  e.  (/) ) )
7169, 70mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D
) )
7268, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
74 elin 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7573, 74sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D
) )
76 imnan 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
)  <->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7775, 76sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
) )
7877imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  -.  k  e.  D )
7978, 60syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8067, 79oveq12d 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
811, 2, 10mndrid 14645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k ) )
829, 81sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G
) )  =  ( F `  k ) )
837, 82syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8483adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8580, 84eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
8677con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  D  ->  -.  k  e.  C
) )
8786imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  -.  k  e.  C )
8887, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8950adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
9088, 89oveq12d 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( F `  k ) ) )
911, 2, 10mndlid 14644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k )
)  =  ( F `
 k ) )
929, 91sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
937, 92syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9493adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9590, 94eqtrd 2420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
9626eleq2d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  ( C  u.  D ) ) )
97 elun 3432 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( C  u.  D )  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D ) )
9896, 97syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D )
) )
9998biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  \/  k  e.  D )
)
10085, 95, 99mpjaodan 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
101100mpteq2dva 4237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
10223, 101eqtr4d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
103 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
104 eqidd 2389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
1055, 15, 19, 103, 104offval2 6262 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
106102, 105eqtr4d 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F 
.+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
107106oveq2d 6037 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  o F  .+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) ) )
10866, 107eleqtrrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ifcif 3683    e. cmpt 4208    |` cres 4821   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   0gc0g 13651   Mndcmnd 14612  CMndccmn 15340   TopSpctps 16885  TopMndctmd 18022   tsums ctsu 18077
This theorem is referenced by:  esumsplit  24244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-topgen 13595  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-plusf 14619  df-submnd 14667  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-ntr 17008  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-tx 17516  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-tmd 18024  df-tsms 18078
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