MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssplit Structured version   Unicode version

Theorem tsmssplit 18173
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmssplit.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssplit.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tsmssplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssplit.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
tsmssplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
tsmssplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
tsmssplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssplit  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 tsmssplit.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 tsmssplit.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssplit.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tsmssplit.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 tsmssplit.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
76ffvelrnda 5862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
8 cmnmnd 15419 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
10 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
111, 10mndidcl 14706 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  B )
1312adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
14 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
157, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
16 eqid 2435 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
1715, 16fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
18 ifcl 3767 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
197, 13, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
20 eqid 2435 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
2119, 20fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
22 tsmssplit.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
236feqmptd 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
2423reseq1d 5137 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  C ) )
25 ssun1 3502 . . . . . . . . 9  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
26 tsmssplit.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
2725, 26syl5sseqr 3389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
28 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
2928mpteq2ia 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `
 k ) )
30 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
31 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `  k ) ) )
3229, 30, 313eqtr4a 2493 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3327, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3424, 33eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  C )
)
3534oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) ) )
36 tmdtps 18098 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  TopSp )
374, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
38 eldifn 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  -.  k  e.  C )
3938adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  -.  k  e.  C )
40 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  if (
k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4241suppss2 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  C
)
431, 10, 3, 37, 5, 17, 42tsmsres 18165 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
4435, 43eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
4522, 44eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
46 tsmssplit.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
4723reseq1d 5137 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  D ) )
48 ssun2 3503 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
4948, 26syl5sseqr 3389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
50 iftrue 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
5150mpteq2ia 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `
 k ) )
52 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
53 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `  k ) ) )
5451, 52, 533eqtr4a 2493 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5549, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5647, 55eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  D )
)
5756oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) ) )
58 eldifn 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  D )  ->  -.  k  e.  D )
5958adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  -.  k  e.  D )
60 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  if (
k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
6261suppss2 6292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  D
)
631, 10, 3, 37, 5, 21, 62tsmsres 18165 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
6457, 63eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
6546, 64eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
661, 2, 3, 4, 5, 17, 21, 45, 65tsmsadd 18168 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) ) )
6728adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
68 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
69 noel 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  k  e.  (/)
70 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  k  e.  (/) ) )
7169, 70mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D
) )
7268, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
74 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7573, 74sylnib 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D
) )
76 imnan 412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
)  <->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7775, 76sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
) )
7877imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  -.  k  e.  D )
7978, 60syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8067, 79oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
811, 2, 10mndrid 14709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k ) )
829, 81sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G
) )  =  ( F `  k ) )
837, 82syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8483adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8580, 84eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
8677con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  D  ->  -.  k  e.  C
) )
8786imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  -.  k  e.  C )
8887, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8950adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
9088, 89oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( F `  k ) ) )
911, 2, 10mndlid 14708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k )
)  =  ( F `
 k ) )
929, 91sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
937, 92syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9493adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9590, 94eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
9626eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  ( C  u.  D ) ) )
97 elun 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( C  u.  D )  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D ) )
9896, 97syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D )
) )
9998biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  \/  k  e.  D )
)
10085, 95, 99mpjaodan 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
101100mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
10223, 101eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
103 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
104 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
1055, 15, 19, 103, 104offval2 6314 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
106102, 105eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F 
.+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
107106oveq2d 6089 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  o F  .+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) ) )
10866, 107eleqtrrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731    e. cmpt 4258    |` cres 4872   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676  CMndccmn 15404   TopSpctps 16953  TopMndctmd 18092   tsums ctsu 18147
This theorem is referenced by:  esumsplit  24439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tmd 18094  df-tsms 18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator