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Theorem tsmssplit 17850
Description: Split a topological group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmssplit.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssplit.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tsmssplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssplit.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssplit.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
tsmssplit.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
tsmssplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
tsmssplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssplit  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )

Proof of Theorem tsmssplit
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssplit.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 tsmssplit.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 tsmssplit.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssplit.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tsmssplit.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 tsmssplit.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  B )
86, 7sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
9 cmnmnd 15120 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
103, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
121, 11mndidcl 14407 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
1310, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  B )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
15 ifcl 3614 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
168, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
17 eqid 2296 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
1816, 17fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
19 ifcl 3614 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
208, 14, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  e.  B )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )
2220, 21fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) : A --> B )
23 tsmssplit.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( F  |`  C ) ) )
246feqmptd 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
2524reseq1d 4970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  C ) )
26 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  C  C_  ( C  u.  D
)
27 tsmssplit.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
2826, 27syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
29 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
3029mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `
 k ) )
31 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
32 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C )  =  ( k  e.  C  |->  ( F `  k ) ) )
3330, 31, 323eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( C 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3428, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  C ) )
3525, 34eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  C )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  C )
)
3635oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) ) )
37 tmdtps 17775 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  TopSp )
384, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
39 eldifn 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  -.  k  e.  C )
4039adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  -.  k  e.  C )
41 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  C  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  if (
k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
4342suppss2 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  C
)
441, 11, 3, 38, 5, 18, 43tsmsres 17842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  C ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
4536, 44eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  C ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
4623, 45eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
47 tsmssplit.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( F  |`  D ) ) )
4824reseq1d 4970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) )  |`  D ) )
49 ssun2 3352 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  ( C  u.  D
)
5049, 27syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
51 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
5251mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `
 k ) )
53 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )
54 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D )  =  ( k  e.  D  |->  ( F `  k ) ) )
5552, 53, 543eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  A  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5650, 55syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) )  |`  D ) )
5748, 56eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  |`  D )  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  |`  D )
)
5857oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) ) )
59 eldifn 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  D )  ->  -.  k  e.  D )
6059adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  -.  k  e.  D )
61 iffalse 3585 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  D  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  D ) )  ->  if (
k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) )  =  ( 0g `  G ) )
6362suppss2 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  G ) } ) )  C_  D
)
641, 11, 3, 38, 5, 22, 63tsmsres 17842 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  |`  D ) )  =  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
6558, 64eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  |`  D ) )  =  ( G tsums  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
6647, 65eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) ) )
671, 2, 3, 4, 5, 18, 22, 46, 66tsmsadd 17845 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) ) )
6829adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
69 tsmssplit.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
70 noel 3472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  k  e.  (/)
71 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  k  e.  (/) ) )
7270, 71mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D
) )
7369, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  ( C  i^i  D ) )
75 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7674, 75sylnib 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D
) )
77 imnan 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
)  <->  -.  ( k  e.  C  /\  k  e.  D ) )
7876, 77sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  ->  -.  k  e.  D
) )
7978imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  -.  k  e.  D )
8079, 61syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
8168, 80oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( F `  k ) 
.+  ( 0g `  G ) ) )
821, 2, 11mndrid 14410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k ) )
8310, 82sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( F `  k )  .+  ( 0g `  G
) )  =  ( F `  k ) )
848, 83syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8584adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
( F `  k
)  .+  ( 0g `  G ) )  =  ( F `  k
) )
8681, 85eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
8778con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  D  ->  -.  k  e.  C
) )
8887imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  -.  k  e.  C )
8988, 41syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( 0g
`  G ) )
9051adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  =  ( F `
 k ) )
9189, 90oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  ( F `  k ) ) )
921, 2, 11mndlid 14409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( F `  k )  e.  B )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k )
)  =  ( F `
 k ) )
9310, 92sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  k )  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `
 k ) )
948, 93syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9594adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9691, 95eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  k  e.  D )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
9727eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  k  e.  ( C  u.  D ) ) )
98 elun 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( C  u.  D )  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D ) )
9997, 98syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  <->  ( k  e.  C  \/  k  e.  D )
) )
10099biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  e.  C  \/  k  e.  D )
)
10186, 96, 100mpjaodan 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) )  =  ( F `
 k ) )
102101mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  k
) ) )
10324, 102eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) )
104 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
105 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) ) )
1065, 16, 20, 104, 105offval2 6111 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F  .+  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) )  .+  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
107103, 106eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) )  o F 
.+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  ( 0g `  G ) ) ) ) )
108107oveq2d 5890 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( G tsums  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  C ,  ( F `
 k ) ,  ( 0g `  G
) ) )  o F  .+  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  ( 0g
`  G ) ) ) ) ) )
10967, 108eleqtrrd 2373 1  |-  ( ph  ->  ( X  .+  Y
)  e.  ( G tsums 
F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578    e. cmpt 4093    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  CMndccmn 15105   TopSpctps 16650  TopMndctmd 17769   tsums ctsu 17824
This theorem is referenced by:  esumsplit  23446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-submnd 14432  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tmd 17771  df-tsms 17825
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