MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Unicode version

Theorem tsmssub 17847
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssub.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmssub.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssub.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmssub.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssub.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmssub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmssub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssub  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 tsmssub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssub.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
5 tgptmd 17778 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
7 tsmssub.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmssub.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
9 tgpgrp 17777 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
111, 10grpinvf 14542 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
124, 9, 113syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
13 tsmssub.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
14 fco 5414 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) : B --> B  /\  H : A --> B )  ->  (
( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
16 tsmssub.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
17 tsmssub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 17846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( inv g `  G )  o.  H
) ) )
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 17845 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
)  e.  ( G tsums 
( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
20 tgptps 17779 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
214, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 17833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
2322, 16sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 17833 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  H ) 
C_  B )
2524, 17sseldd 3194 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
26 tsmssub.p . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
271, 2, 10, 26grpsubval 14541 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2823, 25, 27syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  B )
308, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  k  e.  A )  ->  ( H `  k
)  e.  B )
3213, 31sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( H `  k )  e.  B )
331, 2, 10, 26grpsubval 14541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( H `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
)  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .-  ( H `  k ) )  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
3534mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) ) )
368feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
3713feqmptd 5591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( k  e.  A  |->  ( H `
 k ) ) )
387, 30, 32, 36, 37offval2 6111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) ) )
39 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) )  e. 
_V
4039a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( H `  k )
)  e.  _V )
4112feqmptd 5591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `  x
) ) )
42 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( H `  k )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) )
4332, 37, 41, 42fmptco 5707 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
)  =  ( k  e.  A  |->  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
447, 30, 40, 36, 43offval2 6111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( H `  k )
) ) ) )
4535, 38, 443eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) )
4645oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  o F  .-  H
) )  =  ( G tsums  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
4728, 46eleq12d 2364 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  e.  ( G tsums  ( F  o F  .-  H ) )  <-> 
( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
)  e.  ( G tsums 
( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) ) )
4819, 47mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381  CMndccmn 15105   TopSpctps 16650  TopMndctmd 17769   TopGrpctgp 17770   tsums ctsu 17824
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  17848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tmd 17771  df-tgp 17772  df-tsms 17825
  Copyright terms: Public domain W3C validator