Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Unicode version

Theorem tsmssub 17847
 Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b
tsmssub.p
tsmssub.1 CMnd
tsmssub.2
tsmssub.a
tsmssub.f
tsmssub.h
tsmssub.x tsums
tsmssub.y tsums
Assertion
Ref Expression
tsmssub tsums

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3
2 eqid 2296 . . 3
3 tsmssub.1 . . 3 CMnd
4 tsmssub.2 . . . 4
5 tgptmd 17778 . . . 4 TopMnd
64, 5syl 15 . . 3 TopMnd
7 tsmssub.a . . 3
8 tsmssub.f . . 3
9 tgpgrp 17777 . . . . 5
10 eqid 2296 . . . . . 6
111, 10grpinvf 14542 . . . . 5
124, 9, 113syl 18 . . . 4
13 tsmssub.h . . . 4
14 fco 5414 . . . 4
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3
16 tsmssub.x . . 3 tsums
17 tsmssub.y . . . 4 tsums
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 17846 . . 3 tsums
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 17845 . 2 tsums
20 tgptps 17779 . . . . . . 7
214, 20syl 15 . . . . . 6
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 17833 . . . . 5 tsums
2322, 16sseldd 3194 . . . 4
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 17833 . . . . 5 tsums
2524, 17sseldd 3194 . . . 4
26 tsmssub.p . . . . 5
271, 2, 10, 26grpsubval 14541 . . . 4
2823, 25, 27syl2anc 642 . . 3
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
308, 29sylan 457 . . . . . . 7
31 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
3213, 31sylan 457 . . . . . . 7
331, 2, 10, 26grpsubval 14541 . . . . . . 7
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6
3534mpteq2dva 4122 . . . . 5
368feqmptd 5591 . . . . . 6
3713feqmptd 5591 . . . . . 6
387, 30, 32, 36, 37offval2 6111 . . . . 5
39 fvex 5555 . . . . . . 7
4039a1i 10 . . . . . 6
4112feqmptd 5591 . . . . . . 7
42 fveq2 5541 . . . . . . 7
4332, 37, 41, 42fmptco 5707 . . . . . 6
447, 30, 40, 36, 43offval2 6111 . . . . 5
4535, 38, 443eqtr4d 2338 . . . 4
4645oveq2d 5890 . . 3 tsums tsums
4728, 46eleq12d 2364 . 2 tsums tsums
4819, 47mpbird 223 1 tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cmpt 4093   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cbs 13164   cplusg 13224  cgrp 14378  cminusg 14379  csg 14381  CMndccmn 15105  ctps 16650  TopMndctmd 17769  ctgp 17770   tsums ctsu 17824 This theorem is referenced by:  tgptsmscls  17848 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tmd 17771  df-tgp 17772  df-tsms 17825
 Copyright terms: Public domain W3C validator