MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Unicode version

Theorem tsmssub 17831
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssub.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmssub.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssub.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmssub.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssub.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmssub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmssub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssub  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 tsmssub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssub.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
5 tgptmd 17762 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
7 tsmssub.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmssub.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
9 tgpgrp 17761 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
111, 10grpinvf 14526 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
124, 9, 113syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
13 tsmssub.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
14 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) : B --> B  /\  H : A --> B )  ->  (
( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
16 tsmssub.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
17 tsmssub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 17830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( inv g `  G )  o.  H
) ) )
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 17829 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
)  e.  ( G tsums 
( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
20 tgptps 17763 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
214, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 17817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
2322, 16sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 17817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G tsums  H ) 
C_  B )
2524, 17sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
26 tsmssub.p . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
271, 2, 10, 26grpsubval 14525 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2823, 25, 27syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
29 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k
)  e.  B )
308, 29sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
31 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A --> B  /\  k  e.  A )  ->  ( H `  k
)  e.  B )
3213, 31sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( H `  k )  e.  B )
331, 2, 10, 26grpsubval 14525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( H `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
)  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .-  ( H `  k ) )  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
3534mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) ) )
368feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
3713feqmptd 5575 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( k  e.  A  |->  ( H `
 k ) ) )
387, 30, 32, 36, 37offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) ) )
39 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) )  e. 
_V
4039a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( H `  k )
)  e.  _V )
4112feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `  x
) ) )
42 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( H `  k )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) )
4332, 37, 41, 42fmptco 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
)  =  ( k  e.  A  |->  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
447, 30, 40, 36, 43offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( H `  k )
) ) ) )
4535, 38, 443eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) )
4645oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  o F  .-  H
) )  =  ( G tsums  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
4728, 46eleq12d 2351 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  e.  ( G tsums  ( F  o F  .-  H ) )  <-> 
( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
)  e.  ( G tsums 
( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) ) )
4819, 47mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365  CMndccmn 15089   TopSpctps 16634  TopMndctmd 17753   TopGrpctgp 17754   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  17832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tmd 17755  df-tgp 17756  df-tsms 17809
  Copyright terms: Public domain W3C validator