MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Unicode version

Theorem tsmssub 18099
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmssub.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmssub.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssub.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmssub.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssub.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
tsmssub.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmssub.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
tsmssub.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
Assertion
Ref Expression
tsmssub  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2387 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 tsmssub.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmssub.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
5 tgptmd 18030 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
7 tsmssub.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 tsmssub.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
9 tgpgrp 18029 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
111, 10grpinvf 14776 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
124, 9, 113syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
13 tsmssub.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
14 fco 5540 . . . 4  |-  ( ( ( inv g `  G ) : B --> B  /\  H : A --> B )  ->  (
( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
1512, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
) : A --> B )
16 tsmssub.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( G tsums 
F ) )
17 tsmssub.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G tsums 
H ) )
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 18098 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  ( G tsums 
( ( inv g `  G )  o.  H
) ) )
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 18097 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
)  e.  ( G tsums 
( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
20 tgptps 18031 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
214, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 18085 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
2322, 16sseldd 3292 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 18085 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  H ) 
C_  B )
2524, 17sseldd 3292 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
26 tsmssub.p . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
271, 2, 10, 26grpsubval 14775 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2823, 25, 27syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
298ffvelrnda 5809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  k )  e.  B )
3013ffvelrnda 5809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( H `  k )  e.  B )
311, 2, 10, 26grpsubval 14775 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  B  /\  ( H `  k )  e.  B )  -> 
( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
)  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( F `  k
)  .-  ( H `  k ) )  =  ( ( F `  k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
3332mpteq2dva 4236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 ( H `  k ) ) ) ) )
348feqmptd 5718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( k  e.  A  |->  ( F `
 k ) ) )
3513feqmptd 5718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( k  e.  A  |->  ( H `
 k ) ) )
367, 29, 30, 34, 35offval2 6261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `  k )  .-  ( H `  k )
) ) )
37 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) )  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( inv g `  G ) `  ( H `  k )
)  e.  _V )
3912feqmptd 5718 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `  x
) ) )
40 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( H `  k )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) )
4130, 35, 39, 40fmptco 5840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G )  o.  H
)  =  ( k  e.  A  |->  ( ( inv g `  G
) `  ( H `  k ) ) ) )
427, 29, 38, 34, 41offval2 6261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( ( F `
 k ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  ( H `  k )
) ) ) )
4333, 36, 423eqtr4d 2429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.-  H )  =  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) )
4443oveq2d 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( G tsums  ( F  o F  .-  H
) )  =  ( G tsums  ( F  o F ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G )  o.  H ) ) ) )
4519, 28, 443eltr4d 2468 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( G tsums 
( F  o F 
.-  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    e. cmpt 4207    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    o Fcof 6242   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615  CMndccmn 15339   TopSpctps 16884  TopMndctmd 18021   TopGrpctgp 18022   tsums ctsu 18076
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  18100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-plusf 14618  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-ntr 17007  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tmd 18023  df-tgp 18024  df-tsms 18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator