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Theorem tsmssubm 18165
Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmssubm.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmssubm.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmssubm.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
tsmssubm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
tsmssubm.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
tsmssubm  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubMnd `  G ) )
2 tsmssubm.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Gs  S )
32submbas 14748 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  =  ( Base `  H )
)
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  H ) )
54eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( Base `  H
) ) )
65anbi1d 686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) )  <-> 
( x  e.  (
Base `  H )  /\  A. v  e.  (
TopOpen `  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) ) ) ) )
7 elin 3523 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  ( G tsums  F )  /\  x  e.  S
) )
8 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( G tsums 
F )  /\  x  e.  S )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
97, 8bitri 241 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )
10 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1110submss 14743 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
121, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1312sselda 3341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
14 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
15 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
16 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
17 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
18 tsmssubm.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
19 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
20 fss 5592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> S  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  ->  F : A --> ( Base `  G
) )
2119, 12, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  G ) )
2210, 14, 15, 16, 17, 18, 21eltsms 18155 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) ) )
2322baibd 876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen
`  G ) ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
2413, 23syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
25 vex 2952 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
2625inex1 4337 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  S )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  u  e.  ( TopOpen `  G )
)  ->  ( u  i^i  S )  e.  _V )
282, 14resstopn 17243 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen `  G )t  S )  =  ( TopOpen `  H
)
2928eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S )  <->  v  e.  ( TopOpen `  H )
)
30 fvex 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen `  G )  e.  _V
31 elrest 13648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  _V  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G
)t 
S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
3230, 1, 31sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( TopOpen `  G )t  S
)  <->  E. u  e.  (
TopOpen `  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( (
TopOpen `  G )t  S )  <->  E. u  e.  ( TopOpen
`  G ) v  =  ( u  i^i 
S ) ) )
3429, 33syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
v  e.  ( TopOpen `  H )  <->  E. u  e.  ( TopOpen `  G )
v  =  ( u  i^i  S ) ) )
35 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( u  i^i  S ) ) )
36 elin 3523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
S )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  S ) )
3736rbaib 874 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3837adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  S )  <->  x  e.  u ) )
3935, 38sylan9bbr 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( x  e.  v  <-> 
x  e.  u ) )
40 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  i^i 
S )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S ) ) )
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
42 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
432submmnd 14747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  H  e.  Mnd )
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
452subcmn 15449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
4616, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e. CMnd )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  H  e. CMnd )
48 elfpw 7401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  A  /\  y  e. 
Fin ) )
4948simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
5119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  F : A --> S )
5248simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
54 fssres 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : A --> S  /\  y  C_  A )  -> 
( F  |`  y
) : y --> S )
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> S )
564ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
57 feq3 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( ( F  |`  y ) : y --> S  <->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( F  |`  y
) : y --> S  <-> 
( F  |`  y
) : y --> (
Base `  H )
) )
5955, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  y ) : y --> ( Base `  H
) )
6050, 55fisuppfi 14766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( F  |`  y ) " ( _V  \  { ( 0g
`  H ) } ) )  e.  Fin )
6141, 42, 47, 50, 59, 60gsumcl 15514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  (
Base `  H )
)
6261, 56eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S
)
63 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u  /\  ( H 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  S ) )
6463rbaib 874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  S  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  ( u  i^i  S
)  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) )
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
661ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  S  e.  (SubMnd `  G )
)
6750, 66, 55, 2gsumsubm 14771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  =  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
6867eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u  <->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
6965, 68bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  ( u  i^i  S )  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7040, 69sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  v  =  ( u  i^i  S ) )  ->  ( ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7170an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v  <-> 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) )
7271imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  (
u  i^i  S )
)  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v )  <->  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7372ralbidva 2714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7473rexbidv 2719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v )  <->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) )
7539, 74imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  v  =  ( u  i^i 
S ) )  -> 
( ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) )  <->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7627, 34, 75ralxfr2d 4732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( A. v  e.  ( TopOpen
`  H ) ( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  v ) )  <->  A. u  e.  ( TopOpen `  G )
( x  e.  u  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u ) ) ) )
7724, 76bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) )
7877pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
799, 78syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G tsums  F )  i^i  S )  <->  ( x  e.  S  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
80 eqid 2436 . . . 4  |-  ( TopOpen `  H )  =  (
TopOpen `  H )
81 resstps 17244 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopSp  /\  S  e.  (SubMnd `  G )
)  ->  ( Gs  S
)  e.  TopSp )
8217, 1, 81syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Gs  S )  e.  TopSp )
832, 82syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  TopSp )
84 feq3 5571 . . . . . 6  |-  ( S  =  ( Base `  H
)  ->  ( F : A --> S  <->  F : A
--> ( Base `  H
) ) )
854, 84syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  H ) ) )
8619, 85mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  H ) )
8741, 80, 15, 46, 83, 18, 86eltsms 18155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. v  e.  ( TopOpen `  H )
( x  e.  v  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ( z  C_  y  ->  ( H  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  v ) ) ) ) )
886, 79, 873bitr4rd 278 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( H tsums  F )  <->  x  e.  ( ( G tsums  F
)  i^i  S )
) )
8988eqrdv 2434 1  |-  ( ph  ->  ( H tsums  F )  =  ( ( G tsums 
F )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E.wrex 2699   _Vcvv 2949    \ cdif 3310    i^i cin 3312    C_ wss 3313   ~Pcpw 3792   {csn 3807    |` cres 4873   -->wf 5443   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Fincfn 7102   Basecbs 13462   ↾s cress 13463   ↾t crest 13641   TopOpenctopn 13642   0gc0g 13716    gsumg cgsu 13717   Mndcmnd 14677  SubMndcsubmnd 14730  CMndccmn 15405   TopSpctps 16954   tsums ctsu 18148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-tset 13541  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-fbas 16692  df-fg 16693  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-ntr 17077  df-nei 17155  df-fil 17871  df-fm 17963  df-flim 17964  df-flf 17965  df-tsms 18149
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