Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssubm Structured version   Unicode version

Theorem tsmssubm 18165
 Description: Evaluate an infinite group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssubm.a
tsmssubm.1 CMnd
tsmssubm.2
tsmssubm.s SubMnd
tsmssubm.f
tsmssubm.h s
Assertion
Ref Expression
tsmssubm tsums tsums

Proof of Theorem tsmssubm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssubm.s . . . . . 6 SubMnd
2 tsmssubm.h . . . . . . 7 s
32submbas 14748 . . . . . 6 SubMnd
41, 3syl 16 . . . . 5
54eleq2d 2503 . . . 4
65anbi1d 686 . . 3 g g
7 elin 3523 . . . . 5 tsums tsums
8 ancom 438 . . . . 5 tsums tsums
97, 8bitri 241 . . . 4 tsums tsums
10 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
1110submss 14743 . . . . . . . . 9 SubMnd
121, 11syl 16 . . . . . . . 8
1312sselda 3341 . . . . . . 7
14 eqid 2436 . . . . . . . . 9
15 eqid 2436 . . . . . . . . 9
16 tsmssubm.1 . . . . . . . . 9 CMnd
17 tsmssubm.2 . . . . . . . . 9
18 tsmssubm.a . . . . . . . . 9
19 tsmssubm.f . . . . . . . . . 10
20 fss 5592 . . . . . . . . . 10
2119, 12, 20syl2anc 643 . . . . . . . . 9
2210, 14, 15, 16, 17, 18, 21eltsms 18155 . . . . . . . 8 tsums g
2322baibd 876 . . . . . . 7 tsums g
2413, 23syldan 457 . . . . . 6 tsums g
25 vex 2952 . . . . . . . . 9
2625inex1 4337 . . . . . . . 8
2726a1i 11 . . . . . . 7
282, 14resstopn 17243 . . . . . . . . 9 t
2928eleq2i 2500 . . . . . . . 8 t
30 fvex 5735 . . . . . . . . . 10
31 elrest 13648 . . . . . . . . . 10 SubMnd t
3230, 1, 31sylancr 645 . . . . . . . . 9 t
3332adantr 452 . . . . . . . 8 t
3429, 33syl5bbr 251 . . . . . . 7
35 eleq2 2497 . . . . . . . . 9
36 elin 3523 . . . . . . . . . . 11
3736rbaib 874 . . . . . . . . . 10
3837adantl 453 . . . . . . . . 9
3935, 38sylan9bbr 682 . . . . . . . 8
40 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . 13 g g
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
432submmnd 14747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SubMnd
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
452subcmn 15449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CMnd CMnd
4616, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CMnd
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CMnd
48 elfpw 7401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5248simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 fssres 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5551, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
564ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57 feq3 5571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5955, 58mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6050, 55fisuppfi 14766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6141, 42, 47, 50, 59, 60gsumcl 15514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g
6261, 56eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
63 elin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 g g g
6463rbaib 874 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g g
6562, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
661ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubMnd
6750, 66, 55, 2gsumsubm 14771 . . . . . . . . . . . . . . 15 g g
6867eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
6965, 68bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13 g g
7040, 69sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . 12 g g
7170an32s 780 . . . . . . . . . . 11 g g
7271imbi2d 308 . . . . . . . . . 10 g g
7372ralbidva 2714 . . . . . . . . 9 g g
7473rexbidv 2719 . . . . . . . 8 g g
7539, 74imbi12d 312 . . . . . . 7 g g
7627, 34, 75ralxfr2d 4732 . . . . . 6 g g
7724, 76bitr4d 248 . . . . 5 tsums g
7877pm5.32da 623 . . . 4 tsums g
799, 78syl5bb 249 . . 3 tsums g
80 eqid 2436 . . . 4
81 resstps 17244 . . . . . 6 SubMnd s
8217, 1, 81syl2anc 643 . . . . 5 s
832, 82syl5eqel 2520 . . . 4
84 feq3 5571 . . . . . 6
854, 84syl 16 . . . . 5
8619, 85mpbid 202 . . . 4
8741, 80, 15, 46, 83, 18, 86eltsms 18155 . . 3 tsums g
886, 79, 873bitr4rd 278 . 2 tsums tsums
8988eqrdv 2434 1 tsums tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2698  wrex 2699  cvv 2949   cdif 3310   cin 3312   wss 3313  cpw 3792  csn 3807   cres 4873  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074  cfn 7102  cbs 13462   ↾s cress 13463   ↾t crest 13641  ctopn 13642  c0g 13716   g cgsu 13717  cmnd 14677  SubMndcsubmnd 14730  CMndccmn 15405  ctps 16954   tsums ctsu 18148 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-fi 7409  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-tset 13541  df-rest 13643  df-topn 13644  df-topgen 13660  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-fbas 16692  df-fg 16693  df-top 16956  df-bases 16958  df-topon 16959  df-topsp 16960  df-ntr 17077  df-nei 17155  df-fil 17871  df-fm 17963  df-flim 17964  df-flf 17965  df-tsms 18149
 Copyright terms: Public domain W3C validator