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Theorem tsmsxplem1 17835
Description: Lemma for tsmsxp 17837. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsxp.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsxp.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmsxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
tsmsxp.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
tsmsxp.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmsxp.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmsxp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsxp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmsxp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmsxp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
tsmsxp.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
tsmsxp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
tsmsxp.ks  |-  ( ph  ->  dom  D  C_  K
)
tsmsxp.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ~P ( A  X.  C
)  i^i  Fin )
)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) )
Distinct variable groups:    .0. , k    j, k, n, x, G    B, k    D, j, k, n, x    j, L, n, x    A, j, k, n    j, K, k, n, x    j, H, k, n, x    .- , j, n, x    C, j, k, n    j, F, k, n, x    ph, j,
k, n
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    B( x, j, n)    C( x)    .+ ( x, j, k, n)    J( x, j, k, n)    L( k)    .- ( k)    V( x, j, k, n)    W( x, j, k, n)    .0. ( x, j, n)

Proof of Theorem tsmsxplem1
Dummy variables  g 
y  z  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
2 elfpw 7157 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( K  C_  A  /\  K  e. 
Fin ) )
32simprbi 450 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  e.  Fin )
41, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
52simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  C_  A )
61, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  A )
76sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  K )  ->  j  e.  A )
8 tsmsxp.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
9 tsmsxp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  =  ( ~P C  i^i  Fin )
11 tsmsxp.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  G  e. CMnd )
13 tsmsxp.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
14 tgptps 17763 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  G  e.  TopSp )
17 tsmsxp.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
19 tsmsxp.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
20 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  j  e.  A  /\  k  e.  C
)  ->  ( j F k )  e.  B )
2119, 20syl3an1 1215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A  /\  k  e.  C
)  ->  ( j F k )  e.  B )
22213expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j F k )  e.  B )
23 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )
2422, 23fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
k  e.  C  |->  ( j F k ) ) : C --> B )
25 tsmsxp.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
26 df-ima 4702 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) " L )  =  ran  ( ( g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
)  |`  L )
279, 8tgptopon 17765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
2813, 27syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
29 tsmsxp.l . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
30 toponss 16667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  L  e.  J )  ->  L  C_  B )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  C_  B )
3231adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  L  C_  B )
33 resmpt 5000 . . . . . . . . . 10  |-  ( L 
C_  B  ->  (
( g  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) )  |`  L )  =  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( g  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) )  |`  L )  =  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )
3534rneqd 4906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ran  ( ( g  e.  B  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )  |`  L )  =  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) ) )
3626, 35syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( g  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) ) " L
)  =  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) )
37 tsmsxp.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
38 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j
)  e.  B )
3937, 38sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  B )
40 tsmsxp.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
42 tsmsxp.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .-  =  ( -g `  G )
438, 40, 41, 42grpsubval 14525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H `  j
)  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  ( ( H `  j )  .-  g
)  =  ( ( H `  j ) 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) )
4439, 43sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  g  e.  B )  ->  (
( H `  j
)  .-  g )  =  ( ( H `
 j )  .+  ( ( inv g `  G ) `  g
) ) )
4544mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
)  =  ( g  e.  B  |->  ( ( H `  j ) 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) ) )
46 tgpgrp 17761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
4713, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  G  e.  Grp )
498, 41grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  g
)  e.  B )
5048, 49sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  A )  /\  g  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  g
)  e.  B )
518, 41grpinvf 14526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
5248, 51syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( inv g `  G ) : B --> B )
5352feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( inv g `  G )  =  ( g  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) )
54 eqidd 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
y  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .+  y )
)  =  ( y  e.  B  |->  ( ( H `  j ) 
.+  y ) ) )
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( inv g `  G ) `
 g )  -> 
( ( H `  j )  .+  y
)  =  ( ( H `  j ) 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) )
5650, 53, 54, 55fmptco 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .+  y
) )  o.  ( inv g `  G ) )  =  ( g  e.  B  |->  ( ( H `  j ) 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 g ) ) ) )
5745, 56eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
)  =  ( ( y  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .+  y )
)  o.  ( inv g `  G ) ) )
5813adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  G  e.  TopGrp )
599, 41grpinvhmeo 17769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )
)
6058, 59syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  |->  ( ( H `  j ) 
.+  y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( H `
 j )  .+  y ) )
6261, 8, 40, 9tgplacthmeo 17786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  ( H `  j )  e.  B )  ->  (
y  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .+  y )
)  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6358, 39, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
y  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .+  y )
)  e.  ( J 
Homeo  J ) )
64 hmeoco 17463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )  /\  ( y  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .+  y
) )  e.  ( J  Homeo  J )
)  ->  ( (
y  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .+  y )
)  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6560, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .+  y
) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6657, 65eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
)  e.  ( J 
Homeo  J ) )
6729adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  L  e.  J )
68 hmeoima 17456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) )  e.  ( J  Homeo  J )  /\  L  e.  J
)  ->  ( (
g  e.  B  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) " L )  e.  J )
6966, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( g  e.  B  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) ) " L
)  e.  J )
7036, 69eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) )  e.  J
)
71 tsmsxp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
728, 71, 42grpsubid1 14551 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( H `  j )  e.  B )  -> 
( ( H `  j )  .-  .0.  )  =  ( H `  j ) )
7348, 39, 72syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( H `  j
)  .-  .0.  )  =  ( H `  j ) )
74 tsmsxp.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
7574adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  .0.  e.  L )
76 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  j ) 
.-  .0.  )  e.  _V
77 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j ) 
.-  g ) )  =  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )
78 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  .0.  ->  (
( H `  j
)  .-  g )  =  ( ( H `
 j )  .-  .0.  ) )
7977, 78elrnmpt1s 4927 . . . . . . . 8  |-  ( (  .0.  e.  L  /\  ( ( H `  j )  .-  .0.  )  e.  _V )  ->  ( ( H `  j )  .-  .0.  )  e.  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j ) 
.-  g ) ) )
8075, 76, 79sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  (
( H `  j
)  .-  .0.  )  e.  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )
8173, 80eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )
828, 9, 10, 12, 16, 18, 24, 25, 70, 81tsmsi 17816 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) ) )
837, 82syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  K )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) ) )
8483ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  K  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )
85 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  j )  ->  (
y  C_  z  <->  ( f `  j )  C_  z
) )
8685imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  j )  ->  (
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  <-> 
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )
8786ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  j )  ->  ( A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  <->  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )
8887ac6sfi 7101 . . 3  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  A. j  e.  K  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( y  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )  ->  E. f
( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `
 j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) ) ) )
894, 84, 88syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )
90 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P C  i^i  Fin )
)
9190adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P C  i^i  Fin ) )
92 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
~P C
9391, 92syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  f  C_  ~P C )
94 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  C_  ~P C  <->  U.
ran  f  C_  C
)
9593, 94sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  U. ran  f  C_  C )
96 tsmsxp.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ~P ( A  X.  C
)  i^i  Fin )
)
97 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( ~P ( A  X.  C )  i^i 
Fin )  <->  ( D  C_  ( A  X.  C
)  /\  D  e.  Fin ) )
9897simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( ~P ( A  X.  C )  i^i 
Fin )  ->  D  C_  ( A  X.  C
) )
99 rnss 4907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
C_  ( A  X.  C )  ->  ran  D 
C_  ran  ( A  X.  C ) )
10096, 98, 993syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  D  C_  ran  ( A  X.  C
) )
101 rnxpss 5108 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( A  X.  C )  C_  C
102100, 101syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  D  C_  C
)
103102adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  D 
C_  C )
10495, 103unssd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( U. ran  f  u.  ran  D )  C_  C )
1054adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  K  e.  Fin )
106 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  ->  f  Fn  K )
107106adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  f  Fn  K )
108 dffn4 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  K  <->  f : K -onto-> ran  f )
109107, 108sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  f : K -onto-> ran  f )
110 fofi 7142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  f : K -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
111105, 109, 110syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
112 inss2 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
Fin
11391, 112syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  f  C_  Fin )
114 unifi 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  f  C_  Fin )  ->  U. ran  f  e. 
Fin )
115111, 113, 114syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  U. ran  f  e.  Fin )
11697simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( ~P ( A  X.  C )  i^i 
Fin )  ->  D  e.  Fin )
117 rnfi 7141 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  Fin  ->  ran  D  e.  Fin )
11896, 116, 1173syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  D  e.  Fin )
119118adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ran  D  e.  Fin )
120 unfi 7124 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  f  e. 
Fin  /\  ran  D  e. 
Fin )  ->  ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  Fin )
121115, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  Fin )
122 elfpw 7157 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  f  u. 
ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( ( U. ran  f  u.  ran  D )  C_  C  /\  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  e. 
Fin ) )
123104, 121, 122sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
124123adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )  ->  ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
125 ssun2 3339 . . . . . 6  |-  ran  D  C_  ( U. ran  f  u.  ran  D )
126125a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )  ->  ran  D 
C_  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )
127123adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
128 fvssunirn 5551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f `
 j )  C_  U.
ran  f
129 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ran  f  C_  ( U. ran  f  u.  ran  D )
130128, 129sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 j )  C_  ( U. ran  f  u. 
ran  D )
131 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  z  =  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) )
132130, 131syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( f `  j )  C_  z
)
133 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  j ) 
C_  z  ->  (
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  <-> 
( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )
134132, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( ( f `  j ) 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  <-> 
( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )
135 reseq2 4950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )  =  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )
136135oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  =  ( G 
gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )
137136eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( G 
gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )  <->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )
138134, 137bitrd 244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( ( f `  j ) 
C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  <-> 
( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) )  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) ) )
139138rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. ran  f  u. 
ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  ( A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )
140127, 139syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `
 j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) )  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) ) )
14111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  G  e. CMnd )
142 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  G  e.  Mnd )
144 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
j  e.  K )
145121adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( U. ran  f  u.  ran  D )  e. 
Fin )
146104adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( U. ran  f  u.  ran  D )  C_  C )
147146sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) )  ->  k  e.  C
)
14819adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  K )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
149148, 7jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  K )  ->  ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  j  e.  A )
)
150203expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  j  e.  A )  /\  k  e.  C )  ->  (
j F k )  e.  B )
151149, 150sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  k  e.  C )  ->  (
j F k )  e.  B )
152151adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  k  e.  C )  ->  (
j F k )  e.  B )
153147, 152syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) )  ->  ( j F k )  e.  B
)
154 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) 
|->  ( j F k ) )  =  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D )  |->  ( j F k ) )
155153, 154fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) : ( U. ran  f  u.  ran  D ) --> B )
156145, 155fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( `' ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) 
|->  ( j F k ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1578, 71, 141, 145, 155, 156gsumcl 15198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B
)
158 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  { j }  <-> 
y  =  j )
159 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  { j }  /\  k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  ->  ( y ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) k )  =  ( y F k ) )
160158, 159sylanbr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =  j  /\  k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  ->  (
y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) k )  =  ( y F k ) )
161 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  j  ->  (
y F k )  =  ( j F k ) )
162161adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =  j  /\  k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  ->  (
y F k )  =  ( j F k ) )
163160, 162eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  j  /\  k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  ->  (
y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) k )  =  ( j F k ) )
164163mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  j  ->  (
k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D )  |->  ( y ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) k ) )  =  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D )  |->  ( j F k ) ) )
165164oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  j  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) k ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) ) )
1668, 165gsumsn 15220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  j  e.  K  /\  ( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) )  e.  B
)  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  { j }  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) 
|->  ( y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) 
|->  ( j F k ) ) ) )
167143, 144, 157, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( G  gsumg  ( y  e.  {
j }  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) k ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) ) )
168 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { j }  e.  Fin
169168a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  { j }  e.  Fin )
17019ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
1717adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
j  e.  A )
172171snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  { j }  C_  A )
173 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { j }  C_  A  /\  ( U. ran  f  u.  ran  D ) 
C_  C )  -> 
( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  C_  ( A  X.  C ) )
174172, 146, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  C_  ( A  X.  C ) )
175 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  C_  ( A  X.  C ) )  ->  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) : ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) --> B )
176170, 174, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) : ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) --> B )
177 xpfi 7128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { j }  e.  Fin  /\  ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  Fin )  -> 
( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  e.  Fin )
178168, 145, 177sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  e.  Fin )
179178, 176fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( `' ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
1808, 71, 141, 169, 145, 176, 179gsumxp 15227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  {
j }  |->  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( y ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) k ) ) ) ) ) )
181 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. ran  f  u. 
ran  D )  C_  C  ->  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) )  =  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D )  |->  ( j F k ) ) )
182146, 181syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) )  =  ( k  e.  ( U. ran  f  u.  ran  D )  |->  ( j F k ) ) )
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  ( U. ran  f  u. 
ran  D )  |->  ( j F k ) ) ) )
184167, 180, 1833eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )
185184eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )  <->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) )  e.  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j ) 
.-  g ) ) ) )
186 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  j ) 
.-  g )  e. 
_V
18777, 186elrnmpti 4930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  e.  ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `  j )  .-  g
) )  <->  E. g  e.  L  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) )  =  ( ( H `
 j )  .-  g ) )
188 isabl 15093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
18947, 11, 188sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
190189ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  G  e.  Abel )
1917, 39syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  K )  ->  ( H `  j )  e.  B )
192191ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  ( H `  j )  e.  B )
19331ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  L  C_  B )
194193sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  g  e.  B )
1958, 42, 190, 192, 194ablnncan 15122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  (
( H `  j
)  .-  ( ( H `  j )  .-  g ) )  =  g )
196 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  g  e.  L )
197195, 196eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  (
( H `  j
)  .-  ( ( H `  j )  .-  g ) )  e.  L )
198 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  =  ( ( H `  j
)  .-  g )  ->  ( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  .-  (
( H `  j
)  .-  g )
) )
199198eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  =  ( ( H `  j
)  .-  g )  ->  ( ( ( H `
 j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `
 j )  .-  ( ( H `  j )  .-  g
) )  e.  L
) )
200197, 199syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )
)  /\  g  e.  L )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  =  ( ( H `  j
)  .-  g )  ->  ( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
201200rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( E. g  e.  L  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) )  =  ( ( H `  j )  .-  g
)  ->  ( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
202187, 201syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )  -> 
( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
203185, 202sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) )  -> 
( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
204140, 203syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  K )  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  -> 
( A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `
 j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) )  ->  (
( H `  j
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
205204an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : K --> ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  j  e.  K )  ->  ( A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `
 j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z )
)  e.  ran  (
g  e.  L  |->  ( ( H `  j
)  .-  g )
) )  ->  (
( H `  j
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
206205ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : K
--> ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) )  ->  A. j  e.  K  ( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
207206impr 602 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )  ->  A. j  e.  K  ( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L )
208 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  x  ->  ( H `  j )  =  ( H `  x ) )
209 sneq 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  x  ->  { j }  =  { x } )
210209xpeq1d 4712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  x  ->  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) )  =  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )
211210reseq2d 4955 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )  =  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )
212211oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  x  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )
213208, 212oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
( H `  j
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )  =  ( ( H `  x ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) ) )
214213eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( j  =  x  ->  (
( ( H `  j )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { j }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `
 x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
215214cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  K  (
( H `  j
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
j }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )  e.  L  <->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L )
216207, 215sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L )
217 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ran  D  C_  n  <->  ran  D  C_  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )
218 xpeq2 4704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( { x }  X.  n )  =  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) )
219218reseq2d 4955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) )  =  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) )
220219oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) )
221220oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( H `
 x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  =  ( ( H `  x ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u.  ran  D ) ) ) ) ) )
222221eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( ( H `  x ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
223222ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L  <->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )
224217, 223anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( U. ran  f  u.  ran  D )  ->  ( ( ran 
D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
x }  X.  n
) ) ) )  e.  L )  <->  ( ran  D 
C_  ( U. ran  f  u.  ran  D )  /\  A. x  e.  K  ( ( H `
 x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) ) )
225224rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( U. ran  f  u.  ran  D )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  ( ran 
D  C_  ( U. ran  f  u.  ran  D )  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  ( U. ran  f  u. 
ran  D ) ) ) ) )  e.  L ) )  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) )
226124, 126, 216, 225syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) ) )  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) )
227226ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ( f `  j
)  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) ) )
228227exlimdv 1664 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : K --> ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A. j  e.  K  A. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( ( f `  j )  C_  z  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e.  C  |->  ( j F k ) )  |`  z ) )  e. 
ran  ( g  e.  L  |->  ( ( H `
 j )  .-  g ) ) ) )  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) ) )
22989, 228mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( ran  D  C_  n  /\  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  n ) ) ) )  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365  CMndccmn 15089   Abelcabel 15090  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634    Homeo chmeo 17444   TopGrpctgp 17754   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tsmsxp  17837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tmd 17755  df-tgp 17756  df-tsms 17809
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