Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Unicode version

Theorem tsmsxplem2 18183
 Description: Lemma for tsmsxp 18184. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b
tsmsxp.g CMnd
tsmsxp.2
tsmsxp.a
tsmsxp.c
tsmsxp.f
tsmsxp.h
tsmsxp.1 tsums
tsmsxp.j
tsmsxp.z
tsmsxp.p
tsmsxp.m
tsmsxp.l
tsmsxp.3
tsmsxp.k
tsmsxp.4
tsmsxp.n
tsmsxp.s
tsmsxp.x g
tsmsxp.5 g
tsmsxp.6 g
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5
2 tgpgrp 18108 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 tsmsxp.g . . . 4 CMnd
5 isabl 15416 . . . 4 CMnd
63, 4, 5sylanbrc 646 . . 3
7 tsmsxp.b . . . 4
8 tsmsxp.z . . . 4
9 tsmsxp.k . . . . . 6
10 elfpw 7408 . . . . . . 7
1110simprbi 451 . . . . . 6
129, 11syl 16 . . . . 5
13 tsmsxp.n . . . . . 6
14 elfpw 7408 . . . . . . 7
1514simprbi 451 . . . . . 6
1613, 15syl 16 . . . . 5
17 xpfi 7378 . . . . 5
1812, 16, 17syl2anc 643 . . . 4
19 tsmsxp.f . . . . 5
2010simplbi 447 . . . . . . 7
219, 20syl 16 . . . . . 6
2214simplbi 447 . . . . . . 7
2313, 22syl 16 . . . . . 6
24 xpss12 4981 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5
26 fssres 5610 . . . . 5
2719, 25, 26syl2anc 643 . . . 4
2818, 27fisuppfi 14773 . . . 4
297, 8, 4, 18, 27, 28gsumcl 15521 . . 3 g
30 tsmsxp.h . . . . 5
31 fssres 5610 . . . . 5
3230, 21, 31syl2anc 643 . . . 4
3312, 32fisuppfi 14773 . . . 4
347, 8, 4, 12, 32, 33gsumcl 15521 . . 3 g
35 tsmsxp.p . . . 4
36 tsmsxp.m . . . 4
377, 35, 36ablpncan3 15441 . . 3 g g g g g g
386, 29, 34, 37syl12anc 1182 . 2 g g g g
39 tsmsxp.5 . . 3 g
404adantr 452 . . . . . . . 8 CMnd
41 snfi 7187 . . . . . . . . 9
4216adantr 452 . . . . . . . . 9
43 xpfi 7378 . . . . . . . . 9
4441, 42, 43sylancr 645 . . . . . . . 8
4519adantr 452 . . . . . . . . 9
4621sselda 3348 . . . . . . . . . . 11
4746snssd 3943 . . . . . . . . . 10
4823adantr 452 . . . . . . . . . 10
49 xpss12 4981 . . . . . . . . . 10
5047, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9
51 fssres 5610 . . . . . . . . 9
5245, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . 8
5344, 52fisuppfi 14773 . . . . . . . 8
547, 8, 40, 44, 52, 53gsumcl 15521 . . . . . . 7 g
55 eqid 2436 . . . . . . 7 g g
5654, 55fmptd 5893 . . . . . 6 g
5712, 56fisuppfi 14773 . . . . . 6 g
587, 8, 36, 6, 12, 32, 56, 33, 57gsumsub 15542 . . . . 5 g g g g g
59 fvex 5742 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
61 ovex 6106 . . . . . . . 8 g
6261a1i 11 . . . . . . 7 g
6330, 21feqresmpt 5780 . . . . . . 7
64 eqidd 2437 . . . . . . 7 g g
6512, 60, 62, 63, 64offval2 6322 . . . . . 6 g g
6665oveq2d 6097 . . . . 5 g g g g
67 cmnmnd 15427 . . . . . . . . . . . 12 CMnd
6840, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
69 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
7045adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
7146adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
7248sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . 14
7370, 71, 72fovrnd 6218 . . . . . . . . . . . . 13
74 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
7573, 74fmptd 5893 . . . . . . . . . . . 12
7642, 75fisuppfi 14773 . . . . . . . . . . . 12
777, 8, 40, 42, 75, 76gsumcl 15521 . . . . . . . . . . 11 g
78 elsn 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 ovres 6213 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8078, 79sylanbr 460 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
8380, 82eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14
8483mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . . . 13
8584oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12 g g
867, 85gsumsn 15543 . . . . . . . . . . 11 g g g g
8768, 69, 77, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 g g g
8841a1i 11 . . . . . . . . . . 11
897, 8, 40, 88, 42, 52, 53gsumxp 15550 . . . . . . . . . 10 g g g
90 ovres 6213 . . . . . . . . . . . . 13
9190adantll 695 . . . . . . . . . . . 12
9291mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . 11
9392oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10 g g
9487, 89, 933eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9 g g
9594mpteq2dva 4295 . . . . . . . 8 g g
9695oveq2d 6097 . . . . . . 7 g g g g
977, 8, 4, 12, 16, 27, 28gsumxp 15550 . . . . . . 7 g g g
9896, 97eqtr4d 2471 . . . . . 6 g g g
9998oveq2d 6097 . . . . 5 g g g g g
10058, 66, 993eqtr3d 2476 . . . 4 g g g g
101 tsmsxp.x . . . . . . . 8 g
102 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11
103 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . . 14
104103xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . . . 13
105104reseq2d 5146 . . . . . . . . . . . 12
106105oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11 g g
107102, 106oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10 g g
108107eleq1d 2502 . . . . . . . . 9 g g
109108rspccva 3051 . . . . . . . 8 g g
110101, 109sylan 458 . . . . . . 7 g
111 eqid 2436 . . . . . . 7 g g
112110, 111fmptd 5893 . . . . . 6 g
113 tsmsxp.l . . . . . . 7
114 elmapg 7031 . . . . . . 7 g g
115113, 12, 114syl2anc 643 . . . . . 6 g g
116112, 115mpbird 224 . . . . 5 g
117 tsmsxp.6 . . . . 5 g
118 oveq2 6089 . . . . . . 7 g g g g
119118eleq1d 2502 . . . . . 6 g g g g
120119rspcv 3048 . . . . 5 g g g g
121116, 117, 120sylc 58 . . . 4 g g
122100, 121eqeltrrd 2511 . . 3 g g
123 tsmsxp.4 . . 3
124 oveq1 6088 . . . . 5 g g
125124eleq1d 2502 . . . 4 g g
126 oveq2 6089 . . . . 5 g g g g g g
127126eleq1d 2502 . . . 4 g g g g g g
128125, 127rspc2va 3059 . . 3 g g g g g g
12939, 122, 123, 128syl21anc 1183 . 2 g g g
13038, 129eqeltrrd 2511 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876   cres 4880  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303   cmap 7018  cfn 7109  cbs 13469   cplusg 13529  ctopn 13649  c0g 13723   g cgsu 13724  cmnd 14684  cgrp 14685  csg 14688  CMndccmn 15412  cabel 15413  ctgp 18101   tsums ctsu 18155 This theorem is referenced by:  tsmsxp  18184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-tgp 18103
 Copyright terms: Public domain W3C validator