MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Unicode version

Theorem tsmsxplem2 17836
Description: Lemma for tsmsxp 17837. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmsxp.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmsxp.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tsmsxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmsxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  W )
tsmsxp.f  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
tsmsxp.h  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
tsmsxp.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( H `  j )  e.  ( G tsums  ( k  e.  C  |->  ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tsmsxp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tsmsxp.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tsmsxp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tsmsxp.l  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
tsmsxp.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  L )
tsmsxp.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
tsmsxp.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
tsmsxp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
tsmsxp.s  |-  ( ph  ->  D  C_  ( K  X.  N ) )
tsmsxp.x  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
tsmsxp.5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
tsmsxp.6  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Distinct variable groups:    g, k,  .0.    c, d, g, j, k, x, G    B, g, k    D, g, j, k, x    g, L, j, x    A, g, j, k    K, c, d, g, j, k, x    S, c    H, d, g, j, k, x    N, c, d, g, x    U, c, d    .- , d,
g, j, x    C, g, j, k    T, c, d, g    .+ , c,
d, g    F, c,
d, g, j, k, x    ph, g, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c, d)    A( x, c, d)    B( x, j, c, d)    C( x, c, d)    D( c, d)    .+ ( x, j, k)    S( x, g, j, k, d)    T( x, j, k)    U( x, g, j, k)    H( c)    J( x, g, j, k, c, d)    L( k, c, d)    .- ( k, c)    N( j, k)    V( x, g, j, k, c, d)    W( x, g, j, k, c, d)    .0. ( x, j, c, d)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgpgrp 17761 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 tsmsxp.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 isabl 15093 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e. CMnd ) )
63, 4, 5sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
7 tsmsxp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 tsmsxp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
9 tsmsxp.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
10 elfpw 7157 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  <->  ( K  C_  A  /\  K  e. 
Fin ) )
1110simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  e.  Fin )
129, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
13 tsmsxp.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)
14 elfpw 7157 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( N  C_  C  /\  N  e. 
Fin ) )
1514simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  e.  Fin )
1613, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
17 xpfi 7128 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  e.  Fin )
19 tsmsxp.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
2010simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  K  C_  A )
219, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  C_  A )
2214simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  N  C_  C )
2313, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  C_  C )
24 xpss12 4792 . . . . . 6  |-  ( ( K  C_  A  /\  N  C_  C )  -> 
( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
26 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  ( K  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )  ->  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) : ( K  X.  N ) --> B )
2719, 25, 26syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) : ( K  X.  N ) --> B )
2818, 27fisuppfi 14450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  |`  ( K  X.  N
) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
297, 8, 4, 18, 27, 28gsumcl 15198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B )
30 tsmsxp.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
31 fssres 5408 . . . . 5  |-  ( ( H : A --> B  /\  K  C_  A )  -> 
( H  |`  K ) : K --> B )
3230, 21, 31syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K ) : K --> B )
3312, 32fisuppfi 14450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( H  |`  K ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
347, 8, 4, 12, 32, 33gsumcl 15198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B )
35 tsmsxp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
36 tsmsxp.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
377, 35, 36ablpncan3 15118 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  B  /\  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  B ) )  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
386, 29, 34, 37syl12anc 1180 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) ) )
39 tsmsxp.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  e.  S )
404adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e. CMnd )
41 snfi 6941 . . . . . . . . 9  |-  { y }  e.  Fin
4216adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  e.  Fin )
43 xpfi 7128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4441, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  e.  Fin )
4519adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
4621sselda 3180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  A )
4746snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  C_  A )
4823adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  N  C_  C )
49 xpss12 4792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  C_  A  /\  N  C_  C
)  ->  ( {
y }  X.  N
)  C_  ( A  X.  C ) )
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( { y }  X.  N )  C_  ( A  X.  C ) )
51 fssres 5408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  ( { y }  X.  N ) 
C_  ( A  X.  C ) )  -> 
( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N ) --> B )
5245, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) : ( { y }  X.  N
) --> B )
5344, 52fisuppfi 14450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( `' ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
547, 8, 40, 44, 52, 53gsumcl 15198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  B )
55 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
5654, 55fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) : K --> B )
5712, 56fisuppfi 14450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
587, 8, 36, 6, 12, 32, 56, 33, 57gsumsub 15219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  o F 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
59 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 y )  e. 
_V
6059a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( H `  y )  e.  _V )
61 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) )  e. 
_V
6261a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  e.  _V )
6330, 21feqresmpt 5576 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  |`  K )  =  ( y  e.  K  |->  ( H `  y ) ) )
64 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N
) ) ) ) )
6512, 60, 62, 63, 64offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  K )  o F 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )
6665oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( H  |`  K )  o F 
.-  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
67 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
6840, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  G  e.  Mnd )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  K )
7045adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  F : ( A  X.  C ) --> B )
7146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  y  e.  A )
7248sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  z  e.  C )
73 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : ( A  X.  C ) --> B  /\  y  e.  A  /\  z  e.  C
)  ->  ( y F z )  e.  B )
7470, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y F z )  e.  B )
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) )
7674, 75fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y F z ) ) : N --> B )
7742, 76fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( `' ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
787, 8, 40, 42, 76, 77gsumcl 15198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )
79 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { y }  <-> 
w  =  y )
80 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  { y }  /\  z  e.  N )  ->  (
w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
8179, 80sylanbr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( w F z ) )
82 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w F z )  =  ( y F z ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w F z )  =  ( y F z ) )
8481, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  =  y  /\  z  e.  N )  ->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z )  =  ( y F z ) )
8584mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
8685oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
877, 86gsumsn 15220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  y  e.  K  /\  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
8868, 69, 78, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( w  e.  {
y }  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
8941a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  { y }  e.  Fin )
907, 8, 40, 89, 42, 52, 53gsumxp 15227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( w  e.  { y } 
|->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( w ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) z ) ) ) ) ) )
91 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  K  /\  z  e.  N )  ->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9291adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  K )  /\  z  e.  N )  ->  (
y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z )  =  ( y F z ) )
9392mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) )  =  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) )
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y F z ) ) ) )
9588, 90, 943eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N ) ) z ) ) ) )
9695mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( G 
gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) )
9796oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
987, 8, 4, 12, 16, 27, 28gsumxp 15227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( z  e.  N  |->  ( y ( F  |`  ( K  X.  N
) ) z ) ) ) ) ) )
9997, 98eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )
10099oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
10158, 66, 1003eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )
102 tsmsxp.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
103 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
104 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
105104xpeq1d 4712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( { x }  X.  N )  =  ( { y }  X.  N ) )
106105reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) )  =  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) )
107106oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )
108103, 107oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( H `  x
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
x }  X.  N
) ) ) )  =  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
109108eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  <->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L ) )
110109rspccva 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  K  ( ( H `  x )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { x }  X.  N ) ) ) )  e.  L  /\  y  e.  K )  ->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) )  e.  L )
111102, 110sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  K )  ->  (
( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) )  e.  L )
112 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y ) 
.-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )
113111, 112fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L )
114 tsmsxp.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  J )
115 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  J  /\  K  e.  Fin )  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
116114, 12, 115syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  <-> 
( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) : K --> L ) )
117113, 116mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K ) )
118 tsmsxp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( L  ^m  K ) ( G  gsumg  g )  e.  T
)
119 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  g )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) ) )
120119eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( y  e.  K  |->  ( ( H `
 y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  g )  e.  T  <->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
121120rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y
)  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( {
y }  X.  N
) ) ) ) )  e.  ( L  ^m  K )  -> 
( A. g  e.  ( L  ^m  K
) ( G  gsumg  g )  e.  T  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T ) )
122117, 118, 121sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( y  e.  K  |->  ( ( H `  y )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( { y }  X.  N ) ) ) ) ) )  e.  T )
123101, 122eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)
124 tsmsxp.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d
)  e.  U )
125 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( c  .+  d
)  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d ) )
126125eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( c  =  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  -> 
( ( c  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  e.  U ) )
127 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  d )  =  ( ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) ) )
128127eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( G 
gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  ->  (
( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  d )  e.  U  <->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U ) )
129126, 128rspc2va 2891 . . 3  |-  ( ( ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  e.  S  /\  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) )  e.  T
)  /\  A. c  e.  S  A. d  e.  T  ( c  .+  d )  e.  U
)  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G 
gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13039, 123, 124, 129syl21anc 1181 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N
) ) )  .+  ( ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  .-  ( G  gsumg  ( F  |`  ( K  X.  N ) ) ) ) )  e.  U )
13138, 130eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( H  |`  K ) )  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  CMndccmn 15089   Abelcabel 15090   TopGrpctgp 17754   tsums ctsu 17808
This theorem is referenced by:  tsmsxp  17837
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator