Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Unicode version

Theorem tsmsxplem2 17836
 Description: Lemma for tsmsxp 17837. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b
tsmsxp.g CMnd
tsmsxp.2
tsmsxp.a
tsmsxp.c
tsmsxp.f
tsmsxp.h
tsmsxp.1 tsums
tsmsxp.j
tsmsxp.z
tsmsxp.p
tsmsxp.m
tsmsxp.l
tsmsxp.3
tsmsxp.k
tsmsxp.4
tsmsxp.n
tsmsxp.s
tsmsxp.x g
tsmsxp.5 g
tsmsxp.6 g
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5
2 tgpgrp 17761 . . . . 5
31, 2syl 15 . . . 4
4 tsmsxp.g . . . 4 CMnd
5 isabl 15093 . . . 4 CMnd
63, 4, 5sylanbrc 645 . . 3
7 tsmsxp.b . . . 4
8 tsmsxp.z . . . 4
9 tsmsxp.k . . . . . 6
10 elfpw 7157 . . . . . . 7
1110simprbi 450 . . . . . 6
129, 11syl 15 . . . . 5
13 tsmsxp.n . . . . . 6
14 elfpw 7157 . . . . . . 7
1514simprbi 450 . . . . . 6
1613, 15syl 15 . . . . 5
17 xpfi 7128 . . . . 5
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . 4
19 tsmsxp.f . . . . 5
2010simplbi 446 . . . . . . 7
219, 20syl 15 . . . . . 6
2214simplbi 446 . . . . . . 7
2313, 22syl 15 . . . . . 6
24 xpss12 4792 . . . . . 6
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5
26 fssres 5408 . . . . 5
2719, 25, 26syl2anc 642 . . . 4
2818, 27fisuppfi 14450 . . . 4
297, 8, 4, 18, 27, 28gsumcl 15198 . . 3 g
30 tsmsxp.h . . . . 5
31 fssres 5408 . . . . 5
3230, 21, 31syl2anc 642 . . . 4
3312, 32fisuppfi 14450 . . . 4
347, 8, 4, 12, 32, 33gsumcl 15198 . . 3 g
35 tsmsxp.p . . . 4
36 tsmsxp.m . . . 4
377, 35, 36ablpncan3 15118 . . 3 g g g g g g
386, 29, 34, 37syl12anc 1180 . 2 g g g g
39 tsmsxp.5 . . 3 g
404adantr 451 . . . . . . . 8 CMnd
41 snfi 6941 . . . . . . . . 9
4216adantr 451 . . . . . . . . 9
43 xpfi 7128 . . . . . . . . 9
4441, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . 8
4519adantr 451 . . . . . . . . 9
4621sselda 3180 . . . . . . . . . . 11
4746snssd 3760 . . . . . . . . . 10
4823adantr 451 . . . . . . . . . 10
49 xpss12 4792 . . . . . . . . . 10
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . 9
51 fssres 5408 . . . . . . . . 9
5245, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . 8
5344, 52fisuppfi 14450 . . . . . . . 8
547, 8, 40, 44, 52, 53gsumcl 15198 . . . . . . 7 g
55 eqid 2283 . . . . . . 7 g g
5654, 55fmptd 5684 . . . . . 6 g
5712, 56fisuppfi 14450 . . . . . 6 g
587, 8, 36, 6, 12, 32, 56, 33, 57gsumsub 15219 . . . . 5 g g g g g
59 fvex 5539 . . . . . . . 8
6059a1i 10 . . . . . . 7
61 ovex 5883 . . . . . . . 8 g
6261a1i 10 . . . . . . 7 g
6330, 21feqresmpt 5576 . . . . . . 7
64 eqidd 2284 . . . . . . 7 g g
6512, 60, 62, 63, 64offval2 6095 . . . . . 6 g g
6665oveq2d 5874 . . . . 5 g g g g
67 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . 12 CMnd
6840, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11
69 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
7045adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
7146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
7248sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14
73 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . . 14
7470, 71, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12
7742, 76fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . 12
787, 8, 40, 42, 76, 77gsumcl 15198 . . . . . . . . . . 11 g
79 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80sylanbr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
8481, 83eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14
8584mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . 13
8685oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12 g g
877, 86gsumsn 15220 . . . . . . . . . . 11 g g g g
8868, 69, 78, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 g g g
8941a1i 10 . . . . . . . . . . 11
907, 8, 40, 89, 42, 52, 53gsumxp 15227 . . . . . . . . . 10 g g g
91 ovres 5987 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantll 694 . . . . . . . . . . . 12
9392mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11
9493oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10 g g
9588, 90, 943eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9 g g
9695mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8 g g
9796oveq2d 5874 . . . . . . 7 g g g g
987, 8, 4, 12, 16, 27, 28gsumxp 15227 . . . . . . 7 g g g
9997, 98eqtr4d 2318 . . . . . 6 g g g
10099oveq2d 5874 . . . . 5 g g g g g
10158, 66, 1003eqtr3d 2323 . . . 4 g g g g
102 tsmsxp.x . . . . . . . 8 g
103 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11
104 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . 14
105104xpeq1d 4712 . . . . . . . . . . . . 13
106105reseq2d 4955 . . . . . . . . . . . 12
107106oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11 g g
108103, 107oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10 g g
109108eleq1d 2349 . . . . . . . . 9 g g
110109rspccva 2883 . . . . . . . 8 g g
111102, 110sylan 457 . . . . . . 7 g
112 eqid 2283 . . . . . . 7 g g
113111, 112fmptd 5684 . . . . . 6 g
114 tsmsxp.l . . . . . . 7
115 elmapg 6785 . . . . . . 7 g g
116114, 12, 115syl2anc 642 . . . . . 6 g g
117113, 116mpbird 223 . . . . 5 g
118 tsmsxp.6 . . . . 5 g
119 oveq2 5866 . . . . . . 7 g g g g
120119eleq1d 2349 . . . . . 6 g g g g
121120rspcv 2880 . . . . 5 g g g g
122117, 118, 121sylc 56 . . . 4 g g
123101, 122eqeltrrd 2358 . . 3 g g
124 tsmsxp.4 . . 3
125 oveq1 5865 . . . . 5 g g
126125eleq1d 2349 . . . 4 g g
127 oveq2 5866 . . . . 5 g g g g g g
128127eleq1d 2349 . . . 4 g g g g g g
129126, 128rspc2va 2891 . . 3 g g g g g g
13039, 123, 124, 129syl21anc 1181 . 2 g g g
13138, 130eqeltrrd 2358 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788   cdif 3149   cin 3151   wss 3152  cpw 3625  csn 3640   cmpt 4077   cxp 4687   cres 4691  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cof 6076   cmap 6772  cfn 6863  cbs 13148   cplusg 13208  ctopn 13326  c0g 13400   g cgsu 13401  cmnd 14361  cgrp 14362  csg 14365  CMndccmn 15089  cabel 15090  ctgp 17754   tsums ctsu 17808 This theorem is referenced by:  tsmsxp  17837 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-tgp 17756
 Copyright terms: Public domain W3C validator