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Theorem tsrdir 14683
Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrdir  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )

Proof of Theorem tsrdir
StepHypRef Expression
1 tsrps 14653 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  PosetRel )
2 psrel 14635 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  Rel  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  Rel  A )
4 psref2 14636 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  =  (  _I  |`  U. U. A
) )
5 inss1 3561 . . . . 5  |-  ( A  i^i  `' A ) 
C_  A
64, 5syl6eqssr 3399 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
83, 7jca 519 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
) )
9 pstr2 14637 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
11 psdmrn 14639 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
121, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
1312simpld 446 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  dom  A  =  U. U. A )
1413, 13xpeq12d 4903 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  =  ( U. U. A  X.  U. U. A ) )
15 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  dom  A  =  dom  A
1615istsr 14649 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel 
<->  ( A  e.  PosetRel  /\  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) ) )
1716simprbi 451 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) )
18 relcoi2 5397 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A
)  o.  A )  =  A )
193, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  =  A )
20 cnvresid 5523 . . . . . . . . 9  |-  `' (  _I  |`  U. U. A
)  =  (  _I  |`  U. U. A )
21 cnvss 5045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  A  ->  `' (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
227, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' (  _I  |`  U. U. A ) 
C_  `' A )
2320, 22syl5eqssr 3393 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
24 coss1 5028 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  `' A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
2619, 25eqsstr3d 3383 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  C_  ( `' A  o.  A
) )
27 relcnv 5242 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' A
28 relcoi1 5398 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A
30 relcnvfld 5400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
A  ->  U. U. A  =  U. U. `' A
)
313, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  U. U. A  = 
U. U. `' A )
3231reseq2d 5146 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  =  (  _I  |`  U. U. `' A ) )
3332, 7eqsstr3d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A
)
34 coss2 5029 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3629, 35syl5eqssr 3393 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' A  C_  ( `' A  o.  A
) )
3726, 36unssd 3523 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  `' A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3817, 37sstrd 3358 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3914, 38eqsstr3d 3383 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
4010, 39jca 519 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
) )
41 eqid 2436 . . 3  |-  U. U. A  =  U. U. A
4241isdir 14677 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)  /\  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A )  C_  ( `' A  o.  A
) ) ) ) )
438, 40, 42mpbir2and 889 1  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   U.cuni 4015    _I cid 4493    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880    o. ccom 4882   Rel wrel 4883   PosetRelcps 14624    TosetRel ctsr 14625   DirRelcdir 14673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-ps 14629  df-tsr 14630  df-dir 14675
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