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Theorem tsrdir 14360
Description: A totally ordered set is a directed set. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
tsrdir  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )

Proof of Theorem tsrdir
StepHypRef Expression
1 tsrps 14330 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  PosetRel )
2 psrel 14312 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  Rel  A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  Rel  A )
4 psref2 14313 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  =  (  _I  |`  U. U. A
) )
5 inss1 3389 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  `' A ) 
C_  A
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  i^i  `' A )  C_  A
)
74, 6eqsstr3d 3213 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
81, 7syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)
93, 8jca 518 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
) )
10 pstr2 14314 . . . 4  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
111, 10syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  o.  A )  C_  A
)
12 psdmrn 14316 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  PosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
131, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  =  U. U. A  /\  ran  A  =  U. U. A ) )
1413simpld 445 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  dom  A  =  U. U. A )
1514, 14xpeq12d 4714 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  =  ( U. U. A  X.  U. U. A ) )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  dom  A  =  dom  A
1716istsr 14326 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel 
<->  ( A  e.  PosetRel  /\  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) ) )
1817simprbi 450 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( A  u.  `' A ) )
19 relcoi2 5200 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A
)  o.  A )  =  A )
203, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  =  A )
21 cnvresid 5322 . . . . . . . . 9  |-  `' (  _I  |`  U. U. A
)  =  (  _I  |`  U. U. A )
22 cnvss 4854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  A  ->  `' (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
238, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' (  _I  |`  U. U. A ) 
C_  `' A )
2421, 23syl5eqssr 3223 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  C_  `' A )
25 coss1 4839 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. A
)  C_  `' A  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( (  _I  |`  U. U. A )  o.  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
2720, 26eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  C_  ( `' A  o.  A
) )
28 relcnv 5051 . . . . . . . 8  |-  Rel  `' A
29 relcoi1 5201 . . . . . . . 8  |-  ( Rel  `' A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A
) )  =  `' A
31 relcnvfld 5203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
A  ->  U. U. A  =  U. U. `' A
)
323, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  U. U. A  = 
U. U. `' A )
3332reseq2d 4955 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. A )  =  (  _I  |`  U. U. `' A ) )
3433, 8eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A
)
35 coss2 4840 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  U. U. `' A )  C_  A  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( `' A  o.  (  _I  |`  U. U. `' A ) )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3730, 36syl5eqssr 3223 . . . . . 6  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  `' A  C_  ( `' A  o.  A
) )
3827, 37unssd 3351 . . . . 5  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  `' A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
3918, 38sstrd 3189 . . . 4  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( dom  A  X.  dom  A )  C_  ( `' A  o.  A
) )
4015, 39eqsstr3d 3213 . . 3  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
)
4111, 40jca 518 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A
)  C_  ( `' A  o.  A )
) )
42 eqid 2283 . . 3  |-  U. U. A  =  U. U. A
4342isdir 14354 . 2  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  ( A  e. 
DirRel 
<->  ( ( Rel  A  /\  (  _I  |`  U. U. A )  C_  A
)  /\  ( ( A  o.  A )  C_  A  /\  ( U. U. A  X.  U. U. A )  C_  ( `' A  o.  A
) ) ) ) )
449, 41, 43mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  TosetRel  ->  A  e.  DirRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   PosetRelcps 14301    TosetRel ctsr 14302   DirRelcdir 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-ps 14306  df-tsr 14307  df-dir 14352
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