MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukey Structured version   Unicode version

Theorem ttukey 8398
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma, an Axiom of Choice equivalent. If  A is a nonempty collection of finite character, then  A has a maximal element with respect to inclusion. Here "finite character" means that  x  e.  A iff every finite subset of  x is in  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ttukey.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ttukey  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ttukey
StepHypRef Expression
1 ttukey.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 4705 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8350 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  U. A  e.  dom  card
5 ttukeyg 8397 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
64, 5mp3an1 1266 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320    C. wpss 3321   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   dom cdm 4878   Fincfn 7109   cardccrd 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113  df-card 7826  df-ac 7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator