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Theorem ttukey2g 8143
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8145 with a slightly stronger conclusion: we can set up the maximal element of  A so that it also contains some given  B  e.  A as a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukey2g  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ttukey2g
Dummy variables  w  f  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3303 . . . 4  |-  ( U. A  \  B )  C_  U. A
2 ssnum 7666 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  ( U. A  \  B )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  \  B )  e. 
dom  card )
31, 2mpan2 652 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( U. A  \  B
)  e.  dom  card )
4 isnum3 7587 . . . . 5  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ~~  ( U. A  \  B
) )
5 bren 6871 . . . . 5  |-  ( (
card `  ( U. A  \  B ) ) 
~~  ( U. A  \  B )  <->  E. f 
f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
64, 5bitri 240 . . . 4  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  <->  E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
7 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
8 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  B  e.  A )
9 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
10 dmeq 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  dom  w  =  dom  z )
1110unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. dom  w  =  U. dom  z
)
1210, 11eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  U. dom  w 
<->  dom  z  =  U. dom  z ) )
1310eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  ( dom  w  =  (/)  <->  dom  z  =  (/) ) )
14 rneq 4904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ran  w  =  ran  z )
1514unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  U. ran  w  =  U. ran  z
)
1613, 15ifbieq2d 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w )  =  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) )
17 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  w  =  z )
1817, 11fveq12d 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
w `  U. dom  w
)  =  ( z `
 U. dom  z
) )
1911fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  z  ->  (
f `  U. dom  w
)  =  ( f `
 U. dom  z
) )
2019sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  { ( f `  U. dom  w ) }  =  { ( f `  U. dom  z ) } )
2118, 20uneq12d 3330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  {
( f `  U. dom  w ) } )  =  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } ) )
2221eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( ( w `  U. dom  w )  u. 
{ ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A  <->  ( (
z `  U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ) )
23 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (/)  =  (/) )
2422, 20, 23ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) )  =  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) )
2518, 24uneq12d 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) )  =  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) )
2612, 16, 25ifbieq12d 3587 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u.  {
( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
2726cbvmptv 4111 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  =  U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )
28 recseq 6389 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) )  =  ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) )  -> recs ( (
w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . 7  |- recs ( ( w  e.  _V  |->  if ( dom  w  = 
U. dom  w ,  if ( dom  w  =  (/) ,  B ,  U. ran  w ) ,  ( ( w `  U. dom  w )  u.  if ( ( ( w `
 U. dom  w
)  u.  { ( f `  U. dom  w ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  w ) } ,  (/) ) ) ) ) )  = recs ( ( z  e.  _V  |->  if ( dom  z  = 
U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `  U. dom  z )  u.  if ( ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  { ( f `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  {
( f `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
307, 8, 9, 29ttukeylem7 8142 . . . . . 6  |-  ( ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
31303expib 1154 . . . . 5  |-  ( f : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  (
( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
3231exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. f  f : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
)  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
336, 32sylbi 187 . . 3  |-  ( ( U. A  \  B
)  e.  dom  card  -> 
( ( B  e.  A  /\  A. x
( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
343, 33syl 15 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( ( B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
35343impib 1149 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  B  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  recscrecs 6387    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ttukeyg  8144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-card 7572
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