MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Unicode version

Theorem ttukeyg 8160
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8161 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis  U. A  e.  dom  card says that  U. A is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3477 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 ttukey2g 8159 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
3 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
43reximi 2663 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
653exp 1150 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( z  e.  A  -> 
( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
76exlimdv 1626 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
81, 7syl5bi 208 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
983imp 1145 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   dom cdm 4705   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ttukey  8161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-card 7588
  Copyright terms: Public domain W3C validator