MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Structured version   Unicode version

Theorem ttukeyg 8399
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8400 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis  U. A  e.  dom  card says that  U. A is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3639 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 ttukey2g 8398 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
3 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
43reximi 2815 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
653exp 1153 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( z  e.  A  -> 
( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
76exlimdv 1647 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
81, 7syl5bi 210 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
983imp 1148 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550   E.wex 1551    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   dom cdm 4880   Fincfn 7111   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  ttukey  8400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-riota 6551  df-recs 6635  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-card 7828
  Copyright terms: Public domain W3C validator