MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeyg Unicode version

Theorem ttukeyg 8144
Description: The Teichmüller-Tukey Lemma ttukey 8145 stated with the "choice" as an antecedent (the hypothesis  U. A  e.  dom  card says that  U. A is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ttukeyg  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ttukeyg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3464 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2 ttukey2g 8143 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
3 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
43reximi 2650 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( z  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
52, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  z  e.  A  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
653exp 1150 . . . 4  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( z  e.  A  -> 
( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
76exlimdv 1664 . . 3  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
81, 7syl5bi 208 . 2  |-  ( U. A  e.  dom  card  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) ) )
983imp 1145 1  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  A  =/=  (/)  /\  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A
) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   dom cdm 4689   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ttukey  8145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-card 7572
  Copyright terms: Public domain W3C validator