MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Unicode version

Theorem ttukeylem4 8139
Description: Lemma for ttukey 8145. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Distinct variable groups:    x, z, G    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 4445 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
62, 3, 4, 5ttukeylem3 8138 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  On )  ->  ( G `  (/) )  =  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
71, 6mpan2 652 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  if ( (/)  =  U. (/)
,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `
 U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u. 
{ ( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
8 uni0 3854 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
98eqcomi 2287 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
10 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( (/)  =  U. (/)  ->  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )
12 eqid 2283 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
13 iftrue 3571 . . . 4  |-  ( (/)  =  (/)  ->  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  if (
(/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B
1511, 14eqtri 2303 . 2  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  B
167, 15syl6eq 2331 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  recscrecs 6387   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  8142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388
  Copyright terms: Public domain W3C validator