MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttukeylem4 Structured version   Unicode version

Theorem ttukeylem4 8394
Description: Lemma for ttukey 8400. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem4  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Distinct variable groups:    x, z, G    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem4
StepHypRef Expression
1 0elon 4636 . . 3  |-  (/)  e.  On
2 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
4 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
62, 3, 4, 5ttukeylem3 8393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (/)  e.  On )  ->  ( G `  (/) )  =  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
71, 6mpan2 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  if ( (/)  =  U. (/)
,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `
 U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u. 
{ ( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) ) )
8 uni0 4044 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
98eqcomi 2442 . . . 4  |-  (/)  =  U. (/)
10 iftrue 3747 . . . 4  |-  ( (/)  =  U. (/)  ->  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  (/)  =  (/)
13 iftrue 3747 . . . 4  |-  ( (/)  =  (/)  ->  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  if (
(/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) )  =  B
1511, 14eqtri 2458 . 2  |-  if (
(/)  =  U. (/) ,  if ( (/)  =  (/) ,  B ,  U. ( G " (/) ) ) ,  ( ( G `  U. (/) )  u.  if ( ( ( G `  U. (/) )  u.  {
( F `  U. (/) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. (/) ) } ,  (/) ) ) )  =  B
167, 15syl6eq 2486 1  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   Oncon0 4583   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  recscrecs 6634   Fincfn 7111   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  ttukeylem7  8397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635
  Copyright terms: Public domain W3C validator