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Theorem ttukeylem5 8140
Description: Lemma for ttukey 8145. The  G function forms a (transfinitely long) chain of inclusions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem5  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, D    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    D( z)

Proof of Theorem ttukeylem5
Dummy variables  a 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  a
) )
2 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
32sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
41, 3imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) ) )
54imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) ) )
6 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  ( C  C_  y  <->  C  C_  D
) )
7 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  D  ->  ( G `  y )  =  ( G `  D ) )
87sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( y  =  D  ->  (
( G `  C
)  C_  ( G `  y )  <->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) )
96, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  D  ->  (
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )  <->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D )
) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  D  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
11 r19.21v 2630 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a
) ) )  <->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  C  e.  On )
13 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  y  e.  On )
14 onsseleq 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  <->  ( C  e.  y  \/  C  =  y ) ) )
16 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  <-> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
17 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  =  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  -> 
( ( G `  C )  C_  (
( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  <->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) ) )
18 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
1918tfr1 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  Fn  On
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  G  Fn  On )
21 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  e.  On )
22 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
y  C_  On )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  C  e.  y )
25 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  On  /\  y  C_  On  /\  C  e.  y )  ->  ( G `  C )  e.  ( G " y
) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  e.  ( G
" y ) )
27 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  C )  e.  ( G "
y )  ->  ( G `  C )  C_ 
U. ( G "
y ) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  U. ( G " y ) )
29 n0i 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
30 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3124, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  =  U. ( G
" y ) )
3228, 31sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  y  =  U. y
)  ->  ( G `  C )  C_  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) )
34 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
3534uniex 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  _V
3635sucid 4471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. y  e.  suc  U. y
37 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
38 orduniorsuc 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
3921, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
4039orcanai 879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  y  =  suc  U. y )
4136, 40syl5eleqr 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  U. y  e.  y )
42 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )
4324adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  e.  y )
44 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  e.  y  ->  C  C_ 
U. y )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  C  C_ 
U. y )
46 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( C  C_  a  <->  C 
C_  U. y ) )
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
4847sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  C )  C_  ( G `  a )  <->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  U. y ) ) )
4946, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  <->  ( C  C_  U. y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5049rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  U. y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  U. y ) ) ) )
5141, 42, 45, 50syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  U. y ) )
52 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 U. y ) 
C_  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )
5351, 52syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  /\  -.  y  =  U. y )  ->  ( G `  C )  C_  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
5416, 17, 33, 53ifbothda 3595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  if (
y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
55 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  ->  ph )
56 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
57 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
58 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
5956, 57, 58, 18ttukeylem3 8138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6055, 21, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  y
)  =  if ( y  =  U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `  U. y
)  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
6154, 60sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  ( A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
)  /\  C  e.  y ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  y ) )
6261expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  e.  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
63 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  =  ( G `  y ) )
64 eqimss 3230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  C )  =  ( G `  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) )
6665a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  =  y  ->  ( G `  C ) 
C_  ( G `  y ) ) )
6762, 66jaod 369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  (
( C  e.  y  \/  C  =  y )  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) )
6815, 67sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  /\  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  a )
) )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y
) ) )
6968ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  On )  /\  y  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) )
7069expcom 424 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( A. a  e.  y 
( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) )  -> 
( C  C_  y  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  y ) ) ) ) )
7170a2d 23 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  A. a  e.  y  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
7211, 71syl5bi 208 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  a  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  a ) ) )  ->  ( ( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  y  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  y )
) ) ) )
735, 10, 72tfis3 4648 . . 3  |-  ( D  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e.  On )  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C )  C_  ( G `  D
) ) ) )
7473exp3acom3r 1360 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  On  ->  ( D  e.  On  ->  ( C  C_  D  ->  ( G `  C
)  C_  ( G `  D ) ) ) ) )
75743imp2 1166 1  |-  ( (
ph  /\  ( C  e.  On  /\  D  e.  On  /\  C  C_  D ) )  -> 
( G `  C
)  C_  ( G `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  recscrecs 6387   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ttukeylem6  8141  ttukeylem7  8142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388
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