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Theorem ttukeylem6 8141
Description: Lemma for ttukey 8145. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A )
Distinct variable groups:    x, z, C    x, G, z    ph, z    x, A, z    x, B, z    x, F, z
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ttukeylem6
Dummy variables  a 
y  f  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardon 7577 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
21onsuci 4629 . . . 4  |-  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
32a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4 onelon 4417 . . 3  |-  ( ( suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  C  e.  On )
53, 4sylan 457 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  C  e.  On )
6 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  <->  a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
7 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  a  ->  ( G `  y )  =  ( G `  a ) )
87eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y  =  a  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  ( G `  a )  e.  A
) )
96, 8imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
)  <->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )  <->  ( ph  ->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) ) ) )
11 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  <->  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
12 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  ( G `  y )  =  ( G `  C ) )
1312eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  (
( G `  y
)  e.  A  <->  ( G `  C )  e.  A
) )
1411, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  C  ->  (
( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
)  <->  ( C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  C )  e.  A
) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  (
( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )  <->  ( ph  ->  ( C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  C
)  e.  A ) ) ) )
16 r19.21v 2630 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  y  ( ph  ->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
172onordi 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
19 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  y  C_  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2018, 19sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  y  C_ 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2120sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  a  e.  y )  ->  a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
22 biimt 325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( ( G `  a )  e.  A  <->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  a  e.  y )  ->  (
( G `  a
)  e.  A  <->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
2423ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A  <->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) ) )
252onssi 4628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  C_  On
26 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
2725, 26sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  y  e.  On )
28 ttukeylem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
29 ttukeylem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
30 ttukeylem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
31 ttukeylem.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
3228, 29, 30, 31ttukeylem3 8138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( G `
 y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
3327, 32syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( G `  y )  =  if ( y  = 
U. y ,  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) ) ,  ( ( G `
 U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) ) )
3429ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  y  =  (/) )  ->  B  e.  A )
35 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  Fin
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ( ~P U. ( G
" y )  i^i 
Fin ) )
3735, 36sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  Fin )
38 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  ~P U. ( G " y )
3938, 36sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ~P U. ( G "
y ) )
40 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  ~P U. ( G " y )  ->  w  C_  U. ( G
" y ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  U. ( G " y ) )
4231tfr1 6413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  Fn  On
43 fnfun 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  Fn  On  ->  Fun  G )
44 funiunfv 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  ->  U_ v  e.  y  ( G `  v )  =  U. ( G " y ) )
4542, 43, 44mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U_ v  e.  y  ( G `  v )  =  U. ( G " y )
4641, 45syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  U_ v  e.  y  ( G `  v ) )
47 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w 
C_  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v ) )
48 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v )  <->  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
4948ralbii 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. u  e.  w  u  e.  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
5047, 49bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w 
C_  U_ v  e.  y  ( G `  v
)  <->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
5146, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v ) )
52 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  ( G `  v )  =  ( G `  ( f `  u
) ) )
5352eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  e.  ( G `
 v )  <->  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
5453ac6sfi 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. u  e.  w  E. v  e.  y  u  e.  ( G `  v
) )  ->  E. f
( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
5537, 51, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. f
( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) ) ) )
56 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
57 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  ph )
5857ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ph )
59 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  f : w --> y )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f : w --> y )
61 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f : w --> y  ->  ran  f  C_  y )
6260, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  y )
6327ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
y  e.  On )
64 onss 4582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  On  ->  y  C_  On )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
y  C_  On )
6662, 65sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  On )
6737adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  w  e.  Fin )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  e.  Fin )
69 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f : w --> y  -> 
f  Fn  w )
7060, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f  Fn  w )
71 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  Fn  w  <->  f :
w -onto-> ran  f )
7270, 71sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
f : w -onto-> ran  f )
73 fofi 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  f : w -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
7468, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  e.  Fin )
75 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( dom  f  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) )
76 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : w --> y  ->  dom  f  =  w
)
7759, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  dom  f  =  w )
7877eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( dom  f  =  (/)  <->  w  =  (/) ) )
7975, 78syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( ran  f  =  (/)  <->  w  =  (/) ) )
8079necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  ( ran  f  =/=  (/)  <->  w  =/=  (/) ) )
8180biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
82 ordunifi 7107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ran  f  C_  On  /\ 
ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  f  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
8366, 74, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  ran  f )
8462, 83sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  U. ran  f  e.  y )
85 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
)
8685ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A )
87 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  U. ran  f  ->  ( G `  a
)  =  ( G `
 U. ran  f
) )
8887eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  U. ran  f  ->  ( ( G `  a )  e.  A  <->  ( G `  U. ran  f )  e.  A
) )
8988rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  f  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A  ->  ( G `  U. ran  f )  e.  A
) )
9084, 86, 89sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  -> 
( G `  U. ran  f )  e.  A
)
9157ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ph )
9227ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  y  e.  On )
9392, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  y  C_  On )
94 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f : w --> y  /\  u  e.  w )  ->  ( f `  u
)  e.  y )
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  y )
9693, 95sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  On )
9761ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ran  f  C_  y )
9897, 93sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ran  f  C_  On )
99 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  f  e. 
_V
10099rnex 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ran  f  e.  _V
101100ssonunii 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ran  f  C_  On  ->  U.
ran  f  e.  On )
10298, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  U. ran  f  e.  On )
10369ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  f  Fn  w )
104 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  u  e.  w )
105 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f  Fn  w  /\  u  e.  w )  ->  ( f `  u
)  e.  ran  f
)
106103, 104, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  e.  ran  f )
107 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( f `  u )  e.  ran  f  -> 
( f `  u
)  C_  U. ran  f
)
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( f `  u )  C_  U. ran  f )
10928, 29, 30, 31ttukeylem5 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( (
f `  u )  e.  On  /\  U. ran  f  e.  On  /\  (
f `  u )  C_ 
U. ran  f )
)  ->  ( G `  ( f `  u
) )  C_  ( G `  U. ran  f
) )
11091, 96, 102, 108, 109syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( G `  ( f `  u
) )  C_  ( G `  U. ran  f
) )
111110sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  ( f : w --> y  /\  u  e.  w )
)  ->  ( u  e.  ( G `  (
f `  u )
)  ->  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
112111anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  f :
w --> y )  /\  u  e.  w )  ->  ( u  e.  ( G `  ( f `
 u ) )  ->  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
113112ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  /\  f :
w --> y )  -> 
( A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `
 u ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
114113expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `  u
) ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) ) )
115114impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
117 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w 
C_  ( G `  U. ran  f )  <->  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  U. ran  f ) )
118116, 117sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  C_  ( G `  U. ran  f ) )
11928, 29, 30ttukeylem2 8137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( ( G `  U. ran  f
)  e.  A  /\  w  C_  ( G `  U. ran  f ) ) )  ->  w  e.  A )
12058, 90, 118, 119syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  /\  w  =/=  (/) )  ->  w  e.  A )
121 0ss 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (/)  C_  B
12228, 29, 30ttukeylem2 8137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( B  e.  A  /\  (/)  C_  B
) )  ->  (/)  e.  A
)
123121, 122mpanr2 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  B  e.  A )  ->  (/)  e.  A
)
12429, 123mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  A )
125124ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  (/)  e.  A )
12656, 120, 125pm2.61ne 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  ( w  e.  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  /\  ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) ) ) )  ->  w  e.  A
)
127126expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  ( f `  u
) ) )  ->  w  e.  A )
)
128127exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( E. f ( f : w --> y  /\  A. u  e.  w  u  e.  ( G `  (
f `  u )
) )  ->  w  e.  A ) )
12955, 128mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  w  e.  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  A )
130129ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  (
w  e.  ( ~P
U. ( G "
y )  i^i  Fin )  ->  w  e.  A
) )
131130ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  ( ~P U. ( G "
y )  i^i  Fin )  C_  A )
13228, 29, 30ttukeylem1 8136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( U. ( G
" y )  e.  A  <->  ( ~P U. ( G " y )  i^i  Fin )  C_  A ) )
133132ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  ( U. ( G " y
)  e.  A  <->  ( ~P U. ( G " y
)  i^i  Fin )  C_  A ) )
134131, 133mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  U. ( G " y )  e.  A )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  y  =  U. y )  /\  -.  y  =  (/) )  ->  U. ( G " y
)  e.  A )
13634, 135ifclda 3592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  y  =  U. y )  ->  if ( y  =  (/) ,  B ,  U. ( G " y ) )  e.  A )
137 uneq2 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { ( F `  U. y ) }  =  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) )  ->  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
138137eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { ( F `  U. y ) }  =  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) )  ->  ( (
( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A  <->  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
) )
139 un0 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G `  U. y
)  u.  (/) )  =  ( G `  U. y )
140 uneq2 3323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( ( G `
 U. y )  u.  (/) )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
141139, 140syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( G `  U. y )  =  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )
142141eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  =  if ( ( ( G `  U. y
)  u.  { ( F `  U. y
) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y
) } ,  (/) )  ->  ( ( G `
 U. y )  e.  A  <->  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A ,  {
( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
) )
143 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  -.  y  =  U. y
)  /\  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A
)  ->  ( ( G `  U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A
)
144 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
145144uniex 4516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. y  e.  _V
146145sucid 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. y  e.  suc  U. y
147 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
148 orduniorsuc 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord  y  ->  ( y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
14927, 147, 1483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  (
y  =  U. y  \/  y  =  suc  U. y ) )
150149orcanai 879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
y  =  suc  U. y )
151146, 150syl5eleqr 2370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  ->  U. y  e.  y
)
152 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  ->  A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A )
153 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  U. y  -> 
( G `  a
)  =  ( G `
 U. y ) )
154153eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  U. y  -> 
( ( G `  a )  e.  A  <->  ( G `  U. y
)  e.  A ) )
155154rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. y  e.  y  ->  ( A. a  e.  y  ( G `  a
)  e.  A  -> 
( G `  U. y )  e.  A
) )
156151, 152, 155sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
( G `  U. y )  e.  A
)
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  /\  -.  y  =  U. y
)  /\  -.  (
( G `  U. y )  u.  {
( F `  U. y ) } )  e.  A )  -> 
( G `  U. y )  e.  A
)
158138, 142, 143, 157ifbothda 3595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A ) )  /\  -.  y  = 
U. y )  -> 
( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) )  e.  A
)
159136, 158ifclda 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  if ( y  =  U. y ,  if (
y  =  (/) ,  B ,  U. ( G "
y ) ) ,  ( ( G `  U. y )  u.  if ( ( ( G `
 U. y )  u.  { ( F `
 U. y ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. y ) } ,  (/) ) ) )  e.  A )
16033, 159eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  A. a  e.  y  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( G `  y )  e.  A )
161160expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( G `  a
)  e.  A  -> 
( G `  y
)  e.  A ) )
16224, 161sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. a  e.  y 
( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( G `  y )  e.  A
) )
163162ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
164163com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  y  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
)  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
165164a2i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. a  e.  y  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( ph  ->  ( y  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
16616, 165sylbi 187 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  y  ( ph  ->  ( a  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  a )  e.  A
) )  ->  ( ph  ->  ( y  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) )
167166a1i 10 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. a  e.  y 
( ph  ->  ( a  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  -> 
( G `  a
)  e.  A ) )  ->  ( ph  ->  ( y  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  y )  e.  A
) ) ) )
16810, 15, 167tfis3 4648 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  ( ph  ->  ( C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( G `  C )  e.  A
) ) )
169168imp3a 420 . 2  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ph  /\  C  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A ) )
1705, 169mpcom 32 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  C )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  recscrecs 6387   Fincfn 6863   cardccrd 7568
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-card 7572
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