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Theorem ttukeylem7 8142
Description: Lemma for ttukey 8145. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    ph, y, z   
x, A, y, z   
x, B, y, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( y)

Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . 4  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
_V
21sucid 4471 . . 3  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
4 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
6 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
73, 4, 5, 6ttukeylem6 8141 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
82, 7mpan2 652 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
93, 4, 5, 6ttukeylem4 8139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
10 0elon 4445 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
11 cardon 7577 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
12 0ss 3483 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1310, 11, 123pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
143, 4, 5, 6ttukeylem5 8140 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
1513, 14mpan2 652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
169, 15eqsstr3d 3213 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
18 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  y  C_  ( y  u.  B
)
19 undif1 3529 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  \  B )  u.  B )  =  ( y  u.  B
)
2018, 19sseqtr4i 3211 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( ( y  \  B )  u.  B
)
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ph )
22 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
23 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
243, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  `' F :
( U. A  \  B ) --> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
26 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  a  e.  y )
2726ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  y )
28 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  y  e.  A
)
29 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  a  e.  U. A
)
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  U. A )
31 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  -.  a  e.  B )
3231ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  a  e.  B )
33 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( U. A  \  B )  <->  ( a  e.  U. A  /\  -.  a  e.  B )
)
3430, 32, 33sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( U. A  \  B
) )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) )  /\  a  e.  ( U. A  \  B
) )  ->  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
3625, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
37 onelon 4417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
3811, 36, 37sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
39 suceloni 4604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
4111a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4211onordi 4497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )
43 ordsucss 4609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4442, 36, 43mpsyl 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
453, 4, 5, 6ttukeylem5 8140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( suc  ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4621, 40, 41, 44, 45syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
47 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  C_  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
48 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  Ord  ( `' F `  a ) )
4938, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  Ord  ( `' F `  a )
)
50 ordunisuc 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
5251fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( F `  ( `' F `  a ) ) )
533adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  F : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
54 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  a  e.  ( U. A  \  B ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5553, 34, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5652, 55eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
57 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5857elsnc 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  <->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
5956, 58sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
6051fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( G `  ( `' F `  a ) ) )
61 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
6242, 36, 61sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
633, 4, 5, 6ttukeylem5 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6421, 38, 41, 62, 63syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6560, 64eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
66 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
6765, 66sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  y )
6856, 27eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  e.  y )
6968snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  C_  y
)
7067, 69unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
713, 4, 5ttukeylem2 8137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
)  ->  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
7221, 28, 70, 71syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
73 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A  ->  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7559, 74eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
7647, 75sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
773, 4, 5, 6ttukeylem3 8138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  suc  ( `' F `  a )  e.  On )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
7840, 77syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
79 sucidg 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
8036, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
81 ordirr 4410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
8249, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
83 nelne1 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a )  /\  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8480, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8584, 51neeqtrrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  U. suc  ( `' F `  a ) )
8685neneqd 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) )
87 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8886, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8978, 88eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
9076, 89eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  suc  ( `' F `  a ) ) )
9146, 90sseldd 3181 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9291expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( a  e.  ( y  \  B
)  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
9392ssrdv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( y  \  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9416adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9593, 94unssd 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( y 
\  B )  u.  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9620, 95syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9717, 96eqssd 3196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y )
9897expr 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
99 npss 3286 . . . 4  |-  ( -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y  <->  ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
10098, 99sylibr 203 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
101100ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
102 sseq2 3200 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
103 psseq1 3263 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( x  C.  y  <->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y ) )
104103notbid 285 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
105104ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
106102, 105anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  <->  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y
) ) )
107106rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A  /\  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
1088, 16, 101, 107syl12anc 1180 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  recscrecs 6387   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ttukey2g  8143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-card 7572
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