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Theorem ttukeylem7 8397
Description: Lemma for ttukey 8400. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ttukeylem.1  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
ttukeylem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
ttukeylem.3  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
ttukeylem.4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ttukeylem7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    ph, y, z   
x, A, y, z   
x, B, y, z   
x, F, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    F( y)

Proof of Theorem ttukeylem7
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5744 . . . 4  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
_V
21sucid 4662 . . 3  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) )
3 ttukeylem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B ) )
4 ttukeylem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5 ttukeylem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  A  <->  ( ~P x  i^i  Fin )  C_  A ) )
6 ttukeylem.4 . . . 4  |-  G  = recs ( ( z  e. 
_V  |->  if ( dom  z  =  U. dom  z ,  if ( dom  z  =  (/) ,  B ,  U. ran  z ) ,  ( ( z `
 U. dom  z
)  u.  if ( ( ( z `  U. dom  z )  u. 
{ ( F `  U. dom  z ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. dom  z ) } ,  (/) ) ) ) ) )
73, 4, 5, 6ttukeylem6 8396 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e. 
suc  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
82, 7mpan2 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A )
93, 4, 5, 6ttukeylem4 8394 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  B )
10 0elon 4636 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
11 cardon 7833 . . . . 5  |-  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On
12 0ss 3658 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) )
1310, 11, 123pm3.2i 1133 . . . 4  |-  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
143, 4, 5, 6ttukeylem5 8395 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (/)  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  (/)  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
1513, 14mpan2 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
169, 15eqsstr3d 3385 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
17 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
18 ssun1 3512 . . . . . . . 8  |-  y  C_  ( y  u.  B
)
19 undif1 3705 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  \  B )  u.  B )  =  ( y  u.  B
)
2018, 19sseqtr4i 3383 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( ( y  \  B )  u.  B
)
21 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ph )
22 f1ocnv 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
23 f1of 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : ( U. A  \  B ) -1-1-onto-> ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
243, 22, 233syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  `' F : ( U. A  \  B ) --> (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
2524adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  `' F :
( U. A  \  B ) --> ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
26 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  a  e.  y )
2726ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  y )
28 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  y  e.  A
)
29 elunii 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  a  e.  U. A
)
3027, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  U. A )
31 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( y  \  B )  ->  -.  a  e.  B )
3231ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  a  e.  B )
3330, 32eldifd 3333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( U. A  \  B
) )
3425, 33ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  (
card `  ( U. A  \  B ) ) )
35 onelon 4608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
3611, 34, 35sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  On )
37 suceloni 4795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  e.  On )
3911a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On )
4011onordi 4688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )
41 ordsucss 4800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4240, 34, 41mpsyl 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
433, 4, 5, 6ttukeylem5 8395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( suc  ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  suc  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
4421, 38, 39, 42, 43syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
45 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  C_  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
46 eloni 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F `  a )  e.  On  ->  Ord  ( `' F `  a ) )
4736, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  Ord  ( `' F `  a )
)
48 ordunisuc 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  U. suc  ( `' F `  a )  =  ( `' F `  a ) )
5049fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( F `  ( `' F `  a ) ) )
513adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  F : (
card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B
) )
52 f1ocnvfv2 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( card `  ( U. A  \  B ) ) -1-1-onto-> ( U. A  \  B )  /\  a  e.  ( U. A  \  B ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5351, 33, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  ( `' F `  a ) )  =  a )
5450, 53eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
55 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
5655elsnc 3839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  <->  a  =  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) )
5754, 56sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
5849fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  =  ( G `  ( `' F `  a ) ) )
59 ordelss 4599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  ( card `  ( U. A  \  B ) )  /\  ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
6040, 34, 59sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )
613, 4, 5, 6ttukeylem5 8395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( ( `' F `  a )  e.  On  /\  ( card `  ( U. A  \  B ) )  e.  On  /\  ( `' F `  a ) 
C_  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )  -> 
( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6221, 36, 39, 60, 61syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
6358, 62eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
64 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C_  y )
6563, 64sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  C_  y )
6654, 27eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) )  e.  y )
6766snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  { ( F `
 U. suc  ( `' F `  a ) ) }  C_  y
)
6865, 67unssd 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
693, 4, 5ttukeylem2 8392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  (
( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  C_  y )
)  ->  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
7021, 28, 68, 69syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A )
71 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A  ->  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u. 
{ ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) )  =  {
( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )
7357, 72eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  if ( ( ( G `
 U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) )
7445, 73sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
753, 4, 5, 6ttukeylem3 8393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  suc  ( `' F `  a )  e.  On )  -> 
( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
7638, 75syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) ) )
77 sucidg 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  a )  e.  ( card `  ( U. A  \  B ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
7834, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a ) )
79 ordirr 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  ( `' F `  a )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )
81 nelne1 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( `' F `  a )  e.  suc  ( `' F `  a )  /\  -.  ( `' F `  a )  e.  ( `' F `  a ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8278, 80, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  ( `' F `  a ) )
8382, 49neeqtrrd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  suc  ( `' F `  a )  =/=  U. suc  ( `' F `  a ) )
8483neneqd 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  -.  suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) )
85 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  if ( suc  ( `' F `  a )  =  U. suc  ( `' F `  a ) ,  if ( suc  ( `' F `  a )  =  (/) ,  B ,  U. ( G " suc  ( `' F `  a ) ) ) ,  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8776, 86eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  ( G `  suc  ( `' F `  a ) )  =  ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  if ( ( ( G `  U. suc  ( `' F `  a ) )  u.  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } )  e.  A ,  { ( F `  U. suc  ( `' F `  a ) ) } ,  (/) ) ) )
8874, 87eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  suc  ( `' F `  a ) ) )
8944, 88sseldd 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y )  /\  a  e.  ( y  \  B ) ) )  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9089expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( a  e.  ( y  \  B
)  ->  a  e.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
9190ssrdv 3356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( y  \  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9216adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9391, 92unssd 3525 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( ( y 
\  B )  u.  B )  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9420, 93syl5ss 3361 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  y  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) )
9517, 94eqssd 3367 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y ) )  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y )
9695expr 600 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
97 npss 3459 . . . 4  |-  ( -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y  <->  ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C_  y  ->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  =  y ) )
9896, 97sylibr 205 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
9998ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y )
100 sseq2 3372 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) ) )
101 psseq1 3436 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( x  C.  y  <->  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y ) )
102101notbid 287 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( -.  x  C.  y  <->  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
103102ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  C.  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )
104100, 103anbi12d 693 . . 3  |-  ( x  =  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  ->  ( ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y )  <->  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `
 ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  C.  y
) ) )
105104rspcev 3054 . 2  |-  ( ( ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  e.  A  /\  ( B  C_  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) )  /\  A. y  e.  A  -.  ( G `  ( card `  ( U. A  \  B ) ) ) 
C.  y ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
1068, 16, 99, 105syl12anc 1183 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( B  C_  x  /\  A. y  e.  A  -.  x  C.  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   Ord word 4582   Oncon0 4583   suc csuc 4585   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  recscrecs 6634   Fincfn 7111   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  ttukey2g  8398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-card 7828
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