MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tvclvec Unicode version

Theorem tvclvec 18151
Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tvclvec  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )

Proof of Theorem tvclvec
StepHypRef Expression
1 tvclmod 18150 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32tvctdrg 18145 . . 3  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e. TopDRing )
4 tdrgdrng 18126 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e. TopDRing  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
62islvec 16105 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  (Scalar `  W
)  e.  DivRing ) )
71, 5, 6sylanbrc 646 1  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5396  Scalarcsca 13461   DivRingcdr 15764   LModclmod 15879   LVecclvec 16103  TopDRingctdrg 18109   TopVecctvc 18111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-iota 5360  df-fv 5404  df-ov 6025  df-lvec 16104  df-tdrg 18113  df-tlm 18114  df-tvc 18115
  Copyright terms: Public domain W3C validator