MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tvclvec Unicode version

Theorem tvclvec 17881
Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tvclvec  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )

Proof of Theorem tvclvec
StepHypRef Expression
1 tvclmod 17880 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32tvctdrg 17875 . . 3  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e. TopDRing )
4 tdrgdrng 17856 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e. TopDRing  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
62islvec 15857 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  (Scalar `  W
)  e.  DivRing ) )
71, 5, 6sylanbrc 645 1  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  Scalarcsca 13211   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LVecclvec 15855  TopDRingctdrg 17839   TopVecctvc 17841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lvec 15856  df-tdrg 17843  df-tlm 17844  df-tvc 17845
  Copyright terms: Public domain W3C validator