MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tvclvec Structured version   Unicode version

Theorem tvclvec 18220
Description: A topological vector space is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tvclvec  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )

Proof of Theorem tvclvec
StepHypRef Expression
1 tvclmod 18219 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
32tvctdrg 18214 . . 3  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e. TopDRing )
4 tdrgdrng 18195 . . 3  |-  ( (Scalar `  W )  e. TopDRing  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( W  e.  TopVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
62islvec 16168 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  (Scalar `  W
)  e.  DivRing ) )
71, 5, 6sylanbrc 646 1  |-  ( W  e.  TopVec  ->  W  e.  LVec )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446  Scalarcsca 13524   DivRingcdr 15827   LModclmod 15942   LVecclvec 16166  TopDRingctdrg 18178   TopVecctvc 18180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-lvec 16167  df-tdrg 18182  df-tlm 18183  df-tvc 18184
  Copyright terms: Public domain W3C validator