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Theorem twsymr 25181
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
twsymr  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  =  `' R  <->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
Distinct variable group:    x, R, y

Proof of Theorem twsymr
StepHypRef Expression
1 eqss 3207 . 2  |-  ( R  =  `' R  <->  ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) )
2 cnvsym 5073 . . . . . . 7  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
32biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( `' R  C_  R  ->  A. x A. y ( x R y  -> 
y R x ) )
43a1d 22 . . . . 5  |-  ( `' R  C_  R  ->  ( Rel  R  ->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) ) )
54adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  ->  ( Rel  R  ->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
65com12 27 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  ->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
7 dfrel2 5140 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
8 cnvss 4870 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' R  C_  R  ->  `' `' R  C_  `' R
)
9 sseq1 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( `' `' R  C_  `' R  <->  R  C_  `' R
) )
108, 9syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( `' R  C_  R  ->  ( `' `' R  =  R  ->  R  C_  `' R
) )
112, 10sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  -> 
( `' `' R  =  R  ->  R  C_  `' R ) )
1211com12 27 . . . . . . 7  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  R  C_  `' R ) )
137, 12sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  R  C_  `' R ) )
1413imp 418 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  R  C_  `' R )
152biimpri 197 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  `' R  C_  R )
1615adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  `' R  C_  R )
1714, 16jca 518 . . . 4  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) )
1817ex 423 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  -> 
( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) ) )
196, 18impbid 183 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  <->  A. x A. y ( x R y  -> 
y R x ) ) )
201, 19syl5bb 248 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  =  `' R  <->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   Rel wrel 4710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713
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