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Theorem twsymr 25078
Description: Two ways of saying a relation is symmetric. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
twsymr  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  =  `' R  <->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
Distinct variable group:    x, R, y

Proof of Theorem twsymr
StepHypRef Expression
1 eqss 3194 . 2  |-  ( R  =  `' R  <->  ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) )
2 cnvsym 5057 . . . . . . 7  |-  ( `' R  C_  R  <->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )
32biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( `' R  C_  R  ->  A. x A. y ( x R y  -> 
y R x ) )
43a1d 22 . . . . 5  |-  ( `' R  C_  R  ->  ( Rel  R  ->  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) ) )
54adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  ->  ( Rel  R  ->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
65com12 27 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  ->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
7 dfrel2 5124 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  <->  `' `' R  =  R
)
8 cnvss 4854 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' R  C_  R  ->  `' `' R  C_  `' R
)
9 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( `' `' R  C_  `' R  <->  R  C_  `' R
) )
108, 9syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( `' R  C_  R  ->  ( `' `' R  =  R  ->  R  C_  `' R
) )
112, 10sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  -> 
( `' `' R  =  R  ->  R  C_  `' R ) )
1211com12 27 . . . . . . 7  |-  ( `' `' R  =  R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  R  C_  `' R ) )
137, 12sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  R  C_  `' R ) )
1413imp 418 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  R  C_  `' R )
152biimpri 197 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  ->  `' R  C_  R )
1615adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  `' R  C_  R )
1714, 16jca 518 . . . 4  |-  ( ( Rel  R  /\  A. x A. y ( x R y  ->  y R x ) )  ->  ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) )
1817ex 423 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( A. x A. y ( x R y  ->  y R x )  -> 
( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R ) ) )
196, 18impbid 183 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  C_  `' R  /\  `' R  C_  R )  <->  A. x A. y ( x R y  -> 
y R x ) ) )
201, 19syl5bb 248 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  =  `' R  <->  A. x A. y
( x R y  ->  y R x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   Rel wrel 4694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697
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