Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx1cn Unicode version

Theorem tx1cn 17303
 Description: Continuity of the first projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6141 . . 3
21a1i 10 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 16667 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantlr 695 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss1 4795 . . . . . . . . 9
64, 5syl 15 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3179 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 616 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5389 . . . . . . . 8
10 elpreima 5645 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 9 . . . . . . 7
12 fvres 5542 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2349 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . 10
15 xp2nd 6150 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6151 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 630 . . . . . . . . . . . 12
18 an32 773 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183bitr2i 264 . . . . . . . . . . 11
2019baib 871 . . . . . . . . . 10
2114, 15, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2213, 21bitr4d 247 . . . . . . . 8
2322pm5.32i 618 . . . . . . 7
2411, 23bitri 240 . . . . . 6
258, 24syl6rbbr 255 . . . . 5 TopOn TopOn
2625eqrdv 2281 . . . 4 TopOn TopOn
27 toponmax 16666 . . . . . 6 TopOn
2827ad2antlr 707 . . . . 5 TopOn TopOn
29 txopn 17297 . . . . . 6 TopOn TopOn
3029anassrs 629 . . . . 5 TopOn TopOn
3128, 30mpdan 649 . . . 4 TopOn TopOn
3226, 31eqeltrd 2357 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2626 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 17286 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 simpl 443 . . 3 TopOn TopOn TopOn
36 iscn 16965 . . 3 TopOn TopOn
3734, 35, 36syl2anc 642 . 2 TopOn TopOn
382, 33, 37mpbir2and 888 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543   wss 3152  cop 3643   cxp 4687  ccnv 4688   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1st 6120  c2nd 6121  TopOnctopon 16632   ccn 16954   ctx 17255 This theorem is referenced by:  txcn  17320  txcmpb  17338  cnmpt1st  17362  txsconlem  23771  txscon  23772  hausgraph  27531 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257
 Copyright terms: Public domain W3C validator