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Theorem tx1stc 17400
Description: The topological product of two first-countable spaces is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx1stc  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
1stc )

Proof of Theorem tx1stc
Dummy variables  a 
b  m  n  p  q  r  s  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17225 . . 3  |-  ( R  e.  1stc  ->  R  e. 
Top )
2 1stctop 17225 . . 3  |-  ( S  e.  1stc  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17320 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  U. R  =  U. R
651stcclb 17226 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  u  e.  U. R )  ->  E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om 
/\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) ) )
76ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om 
/\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) ) )
8 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
981stcclb 17226 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  1stc  /\  v  e.  U. S )  ->  E. b  e.  ~P  S ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
109ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. b  e.  ~P  S ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
11 reeanv 2741 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ~P  R E. b  e.  ~P  S ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  <-> 
( E. a  e. 
~P  R ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  E. b  e. 
~P  S ( b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) ) )
12 an4 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  (
b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  <->  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) ) )
13 txopn 17353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( m  e.  R  /\  n  e.  S
) )  ->  (
m  X.  n )  e.  ( R  tX  S ) )
1413ralrimivva 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
151, 2, 14syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S ) )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
17 elpwi 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ~P R  -> 
a  C_  R )
18 ssralv 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a 
C_  R  ->  ( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. m  e.  a  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ~P R  -> 
( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
20 elpwi 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
b  C_  S )
21 ssralv 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b 
C_  S  ->  ( A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. n  e.  b 
( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
( A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2322ralimdv 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  ~P S  -> 
( A. m  e.  a  A. n  e.  S  ( m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2419, 23sylan9 638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S )  ->  ( A. m  e.  R  A. n  e.  S  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. m  e.  a  A. n  e.  b 
( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) ) )
2516, 24mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  A. m  e.  a 
A. n  e.  b  ( m  X.  n
)  e.  ( R 
tX  S ) )
26 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  =  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )
2726fmpt2 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  a  A. n  e.  b  (
m  X.  n )  e.  ( R  tX  S )  <->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) --> ( R  tX  S ) )
2825, 27sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) --> ( R  tX  S ) )
29 frn 5433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b ) --> ( R  tX  S )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  C_  ( R  tX  S ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  C_  ( R  tX  S ) )
31 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R 
tX  S )  e. 
_V
3231elpw2 4212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  e.  ~P ( R  tX  S )  <->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  C_  ( R  tX  S ) )
3330, 32sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e. 
~P ( R  tX  S ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e.  ~P ( R 
tX  S ) )
35 omelon 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  e.  On
36 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
3736xpdom1 7004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  ~<_  om  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  b ) )
38 omex 7389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  e.  _V
3938xpdom2 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  ~<_  om  ->  ( om  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
40 domtr 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  X.  b
)  ~<_  ( om  X.  b )  /\  ( om  X.  b )  ~<_  ( om  X.  om )
)  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om 
X.  om ) )
4137, 39, 40syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  ( om  X.  om )
)
42 xpomen 7688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
43 domentr 6963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  X.  b
)  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  om )
4441, 42, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  ~<_  om )
45 ondomen 7709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( a  X.  b
)  ~<_  om )  ->  (
a  X.  b )  e.  dom  card )
4635, 44, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ( a  X.  b )  e. 
dom  card )
47 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  m  e. 
_V
48 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  n  e. 
_V
4947, 48xpex 4838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  X.  n )  e. 
_V
5026, 49fnmpt2i 6235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  Fn  ( a  X.  b )
51 dffn4 5495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  Fn  ( a  X.  b )  <->  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b
) -onto-> ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) )
5250, 51mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) : ( a  X.  b ) -onto-> ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )
53 fodomnum 7729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  X.  b )  e.  dom  card  ->  ( ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) ) : ( a  X.  b )
-onto->
ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  ( a  X.  b ) ) )
5446, 52, 53ee10 1367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  ( a  X.  b ) )
55 domtr 6957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  ~<_  om )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
5654, 44, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
5756ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om )
581, 2anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top ) )
5958ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e. 
Top ) )
60 eltx 17319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S )  <->  A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  (
r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
62 eleq1 2376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( w  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s ) ) )
6362anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( w  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
64632rexbidv 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( w  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) ) )
6564rspccv 2915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )  ->  ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
66 r19.27av 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  ->  A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )
67 r19.29 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  ( (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
68 r19.29 2717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( (
v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
69 opelxp 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( u  e.  r  /\  v  e.  s ) )
70 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( u  e.  r  /\  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )
71 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( v  e.  s  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )
7270, 71anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( u  e.  r  /\  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( v  e.  s  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7372an4s 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( u  e.  r  /\  v  e.  s )  /\  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7469, 73sylanb 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
7574anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7675anasss 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( (
( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7776an12s 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )
7877expl 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( (
( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) ) )
7978reximdv 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( E. s  e.  S  (
( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
) )
8068, 79syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  ->  ( ( A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
) )
8180impl 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. s  e.  S  (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8281reximi 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. r  e.  R  ( ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. s  e.  S  (
<. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8367, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. r  e.  R  ( ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
8466, 83sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )
)
85 reeanv 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. p  e.  a  E. q  e.  b  (
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  <->  ( E. p  e.  a  (
u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
86 simpr1l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  p  e.  a )
87 simpr1r 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  q  e.  b )
88 eqidd 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  q ) )
89 xpeq1 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  =  p  ->  (
m  X.  n )  =  ( p  X.  n ) )
9089eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  =  p  ->  (
( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  n ) ) )
91 xpeq2 4741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  q  ->  (
p  X.  n )  =  ( p  X.  q ) )
9291eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  q  ->  (
( p  X.  q
)  =  ( p  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( p  X.  q ) ) )
9390, 92rspc2ev 2926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  e.  a  /\  q  e.  b  /\  ( p  X.  q
)  =  ( p  X.  q ) )  ->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
9486, 87, 88, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
95 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  p  e. 
_V
96 vex 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  q  e. 
_V
9795, 96xpex 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  X.  q )  e. 
_V
98 eqeq1 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  ( p  X.  q )  ->  (
x  =  ( m  X.  n )  <->  ( p  X.  q )  =  ( m  X.  n ) ) )
99982rexbidv 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  ( p  X.  q )  ->  ( E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n )  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  b  ( p  X.  q )  =  ( m  X.  n ) ) )
10097, 99elab 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( p  X.  q )  e.  { x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n ) }  <->  E. m  e.  a  E. n  e.  b 
( p  X.  q
)  =  ( m  X.  n ) )
10194, 100sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  {
x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n
) } )
10226rnmpt2 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  =  { x  |  E. m  e.  a  E. n  e.  b  x  =  ( m  X.  n ) }
103101, 102syl6eleqr 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) )
104 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )
105 opelxpi 4758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( u  e.  p  /\  v  e.  q )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
) )
106105ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
) )
107104, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  <. u ,  v
>.  e.  ( p  X.  q ) )
108 xpss12 4829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  C_  r  /\  q  C_  s )  -> 
( p  X.  q
)  C_  ( r  X.  s ) )
109108ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  -> 
( p  X.  q
)  C_  ( r  X.  s ) )
110104, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  C_  (
r  X.  s ) )
111 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( r  X.  s )  C_  z
)
112110, 111sstrd 3223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  ( p  X.  q )  C_  z
)
113 eleq2 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  ( <. u ,  v >.  e.  w  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( p  X.  q ) ) )
114 sseq1 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  (
w  C_  z  <->  ( p  X.  q )  C_  z
) )
115113, 114anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( p  X.  q )  ->  (
( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( p  X.  q )  /\  ( p  X.  q )  C_  z
) ) )
116115rspcev 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p  X.  q
)  e.  ran  (
m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  /\  ( <.
u ,  v >.  e.  ( p  X.  q
)  /\  ( p  X.  q )  C_  z
) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )
117103, 107, 112, 116syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  /\  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  /\  ( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )
1181173exp2 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( p  e.  a  /\  q  e.  b )  ->  ( (
( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  -> 
( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
119118rexlimdvv 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  ( E. p  e.  a  E. q  e.  b 
( ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  ( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
12085, 119syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  ->  ( ( r  X.  s )  C_  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
121120imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  (
v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
122121rexlimdvva 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r )  /\  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
12384, 122syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( ( ( A. r  e.  R  (
u  e.  r  ->  E. p  e.  a 
( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) )  /\  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
) )  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
124123exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om ) )  -> 
( ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
125124impr 602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  z
)  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
12665, 125syl9r 67 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( A. w  e.  z  E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
w  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s
)  C_  z )  ->  ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
12761, 126sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( R  tX  S
)  ->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
128127ralrimiv 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
129 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  om )
)
130 rexeq 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
131130imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( ( <.
u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
132131ralbidv 2597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n
) ) ( <.
u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
133129, 132anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  ~<_  om 
/\  A. z  e.  ( R  tX  S ) ( <. u ,  v
>.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
134133rspcev 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) )  e. 
~P ( R  tX  S )  /\  ( ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b 
|->  ( m  X.  n
) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( m  e.  a ,  n  e.  b  |->  ( m  X.  n ) ) (
<. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
13534, 57, 128, 134syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e. 
1stc )  /\  (
u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S
) )  /\  (
a  e.  ~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  /\  ( ( a  ~<_  om 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b 
( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
136135ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( ( ( a  ~<_  om  /\  b  ~<_  om )  /\  ( A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) )  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
13712, 136syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e. 
U. R  /\  v  e.  U. S ) )  /\  ( a  e. 
~P R  /\  b  e.  ~P S ) )  ->  ( ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
138137rexlimdvva 2708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  -> 
( E. a  e. 
~P  R E. b  e.  ~P  S ( ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  ( b  ~<_  om 
/\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s
) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
13911, 138syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  -> 
( ( E. a  e.  ~P  R ( a  ~<_  om  /\  A. r  e.  R  ( u  e.  r  ->  E. p  e.  a  ( u  e.  p  /\  p  C_  r ) ) )  /\  E. b  e. 
~P  S ( b  ~<_  om  /\  A. s  e.  S  ( v  e.  s  ->  E. q  e.  b  ( v  e.  q  /\  q  C_  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1407, 10, 139mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  /\  ( u  e.  U. R  /\  v  e.  U. S ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
141140ralrimivva 2669 . . . 4  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. u  e.  U. R A. v  e.  U. S E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
142 eleq1 2376 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  z  <->  <. u ,  v
>.  e.  z ) )
143 eleq1 2376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  w  <->  <. u ,  v
>.  e.  w ) )
144143anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
145144rexbidv 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
146142, 145imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
147146ralbidv 2597 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
148147anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
149148rexbidv 2598 . . . . 5  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) (
<. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v >.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
150149ralxp 4864 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R 
tX  S ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y 
( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  A. u  e.  U. R A. v  e.  U. S E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( <. u ,  v >.  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( <. u ,  v
>.  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
151141, 150sylibr 203 . . 3  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. x  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1525, 8txuni 17343 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
1531, 2, 152syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
154153raleqdv 2776 . . 3  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( A. x  e.  ( U. R  X.  U. S
) E. y  e. 
~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
155151, 154mpbid 201 . 2  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
156 eqid 2316 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
157156is1stc2 17224 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  1stc  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. ( R  tX  S ) E. y  e.  ~P  ( R  tX  S ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( R  tX  S
) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1584, 155, 157sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  1stc  /\  S  e.  1stc )  ->  ( R  tX  S )  e. 
1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577   E.wrex 2578    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   <.cop 3677   U.cuni 3864   class class class wbr 4060   Oncon0 4429   omcom 4693    X. cxp 4724   dom cdm 4726   ran crn 4727    Fn wfn 5287   -->wf 5288   -onto->wfo 5290  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904   cardccrd 7613   Topctop 16687   1stcc1stc 17219    tX ctx 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-topgen 13393  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-1stc 17221  df-tx 17313
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