Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tx2cn Unicode version

Theorem tx2cn 17320
 Description: Continuity of the second projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2cn TopOn TopOn

Proof of Theorem tx2cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6158 . . 3
21a1i 10 . 2 TopOn TopOn
3 toponss 16683 . . . . . . . . . 10 TopOn
43adantll 694 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
5 xpss2 4812 . . . . . . . . 9
64, 5syl 15 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
76sseld 3192 . . . . . . 7 TopOn TopOn
87pm4.71rd 616 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 ffn 5405 . . . . . . . 8
10 elpreima 5661 . . . . . . . 8
111, 9, 10mp2b 9 . . . . . . 7
12 fvres 5558 . . . . . . . . . 10
1312eleq1d 2362 . . . . . . . . 9
14 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . 10
15 xp1st 6165 . . . . . . . . . 10
16 elxp6 6167 . . . . . . . . . . . 12
17 anass 630 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11
1918baib 871 . . . . . . . . . 10
2014, 15, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2113, 20bitr4d 247 . . . . . . . 8
2221pm5.32i 618 . . . . . . 7
2311, 22bitri 240 . . . . . 6
248, 23syl6rbbr 255 . . . . 5 TopOn TopOn
2524eqrdv 2294 . . . 4 TopOn TopOn
26 toponmax 16682 . . . . . . 7 TopOn
2726adantr 451 . . . . . 6 TopOn TopOn
28 txopn 17313 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2928expr 598 . . . . . 6 TopOn TopOn
3027, 29mpdan 649 . . . . 5 TopOn TopOn
3130imp 418 . . . 4 TopOn TopOn
3225, 31eqeltrd 2370 . . 3 TopOn TopOn
3332ralrimiva 2639 . 2 TopOn TopOn
34 txtopon 17302 . . 3 TopOn TopOn TopOn
35 iscn 16981 . . 3 TopOn TopOn
3634, 35sylancom 648 . 2 TopOn TopOn
372, 33, 36mpbir2and 888 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556   wss 3165  cop 3656   cxp 4703  ccnv 4704   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136  c2nd 6137  TopOnctopon 16648   ccn 16970   ctx 17271 This theorem is referenced by:  txcn  17336  txcmpb  17354  txkgen  17362  cnmpt2nd  17379  txsconlem  23786  txscon  23787  hausgraph  27634 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273
 Copyright terms: Public domain W3C validator