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Theorem txbas 17262
Description: The set of Cartesian products of elements from two topological bases is a basis. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbas  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txbas
Dummy variables  a 
b  c  d  p  t  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . . . . . 8  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 xpeq1 4703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  X.  y )  =  ( a  X.  y ) )
3 xpeq2 4704 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a  X.  y )  =  ( a  X.  b ) )
42, 3cbvmpt2v 5926 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  S  |->  ( a  X.  b ) )
54rnmpt2 5954 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
61, 5eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  B  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
76abeq2i 2390 . . . . . 6  |-  ( u  e.  B  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b
) )
8 xpeq1 4703 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  c  ->  (
x  X.  y )  =  ( c  X.  y ) )
9 xpeq2 4704 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  d  ->  (
c  X.  y )  =  ( c  X.  d ) )
108, 9cbvmpt2v 5926 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( c  e.  R ,  d  e.  S  |->  ( c  X.  d ) )
1110rnmpt2 5954 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
121, 11eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  B  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
1312abeq2i 2390 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  <->  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d
) )
147, 13anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
15 reeanv 2707 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
1614, 15bitr4i 243 . . . 4  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
17 reeanv 2707 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
18 basis2 16689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  a  e.  R )  /\  ( c  e.  R  /\  u  e.  (
a  i^i  c )
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
1918exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TopBases  ->  ( a  e.  R  ->  ( c  e.  R  ->  ( u  e.  ( a  i^i  c )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) ) ) ) )
2019imp42 577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
21 basis2 16689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  b  e.  S )  /\  ( d  e.  S  /\  v  e.  (
b  i^i  d )
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
2221exp43 595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  TopBases  ->  ( b  e.  S  ->  ( d  e.  S  ->  ( v  e.  ( b  i^i  d )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) ) ) ) )
2322imp42 577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
24 reeanv 2707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( E. x  e.  R  (
u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d ) ) ) )
25 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y
) )
26 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( a  i^i  c )  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) )  ->  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )
2725, 26anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y
)  /\  ( x  C_  ( a  i^i  c
)  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2827an4s 799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2928reximi 2650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  S  ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3029reximi 2650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3124, 30sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3220, 23, 31syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c ) )  /\  ( ( S  e.  TopBases 
/\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3332an4s 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  /\  (
u  e.  ( a  i^i  c )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3433ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. u  e.  ( a  i^i  c
) A. v  e.  ( b  i^i  d
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
35 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y ) ) )
3635anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( p  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
37362rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) ) )
3837ralxp 4827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  A. u  e.  ( a  i^i  c ) A. v  e.  ( b  i^i  d ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3934, 38sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4039an4s 799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
( a  e.  R  /\  c  e.  R
)  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) ) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4140anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
42 ineq12 3365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) ) )
43 inxp 4818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) )  =  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)
4442, 43syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d ) ) )
4544sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( t  C_  (
u  i^i  v )  <->  t 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
4645anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
4746rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
481rexeqi 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. t  e.  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
49 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
50 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  z )  e.  _V
5149, 50xpex 4801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V
5251rgenw 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. z  e.  ( R  X.  S
) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  e.  _V
53 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5553, 54op1std 6130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5653, 54op2ndd 6131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5755, 56xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  X.  y ) )
5857mpt2mpt 5939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R  X.  S )  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )
5958eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  S
)  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) )
60 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( p  e.  t  <->  p  e.  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) ) ) )
61 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)  <->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6260, 61anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6359, 62rexrnmpt 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( R  X.  S ) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V  ->  ( E. t  e. 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6452, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) )
6557eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
6657sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) )  <-> 
( x  X.  y
)  C_  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6765, 66anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
6867rexxp 4828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( R  X.  S ) ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  /\  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
6948, 64, 683bitri 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
7047, 69syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7144, 70raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7241, 71syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  (
( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
7372rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7417, 73syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7574rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7616, 75syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( (
u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7776ralrimivv 2634 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
781txbasex 17261 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  _V )
79 isbasis2g 16686 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8078, 79syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( B  e. 
TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8177, 80mpbird 223 1  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  txtop  17264  tx2ndc  17345  mbfimaopnlem  19010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-bases 16638
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