MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Structured version   Unicode version

Theorem txbasex 17600
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbasex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  U. R  =  U. R
3 eqid 2438 . . . 4  |-  U. S  =  U. S
41, 2, 3txuni2 17599 . . 3  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. B
5 uniexg 4708 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. R  e.  _V )
6 uniexg 4708 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
7 xpexg 4991 . . . 4  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
U. S  e.  _V )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e. 
_V )
85, 6, 7syl2an 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e.  _V )
94, 8syl5eqelr 2523 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 4754 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 205 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   U.cuni 4017    X. cxp 4878   ran crn 4881    e. cmpt2 6085
This theorem is referenced by:  txbas  17601  eltx  17602  txtopon  17625  txopn  17636  txss12  17639  txbasval  17640  txrest  17665  sxsiga  24547  elsx  24550  mbfmco2  24617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352
  Copyright terms: Public domain W3C validator