MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Unicode version

Theorem txbasex 17261
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbasex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  U. R  =  U. R
3 eqid 2283 . . . 4  |-  U. S  =  U. S
41, 2, 3txuni2 17260 . . 3  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. B
5 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. R  e.  _V )
6 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
7 xpexg 4800 . . . 4  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
U. S  e.  _V )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e. 
_V )
85, 6, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e.  _V )
94, 8syl5eqelr 2368 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 4563 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 203 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ran crn 4690    e. cmpt2 5860
This theorem is referenced by:  txbas  17262  eltx  17263  txtopon  17286  txopn  17297  txss12  17300  txbasval  17301  txrest  17325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123
  Copyright terms: Public domain W3C validator