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Theorem txcld 17298
Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )

Proof of Theorem txcld
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
21cldss 16766 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  A  C_  U. R
)
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
43cldss 16766 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  B  C_  U. S
)
5 xpss12 4792 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. R  /\  B  C_  U. S )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
62, 4, 5syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
7 cldrcl 16763 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  R  e.  Top )
8 cldrcl 16763 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  S  e.  Top )
91, 3txuni 17287 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
107, 8, 9syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
116, 10sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
12 difxp 6153 . . . 4  |-  ( ( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( U. R  \  A
)  X.  U. S
)  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )
1310difeq1d 3293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \ 
( A  X.  B
) ) )
1412, 13syl5eqr 2329 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \  ( A  X.  B ) ) )
15 txtop 17264 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
167, 8, 15syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
177adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  R  e.  Top )
188adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  S  e.  Top )
191cldopn 16768 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
2019adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
213topopn 16652 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
2218, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. S  e.  S )
23 txopn 17297 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( ( U. R  \  A )  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
2417, 18, 20, 22, 23syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
251topopn 16652 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
2617, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. R  e.  R )
273cldopn 16768 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
2827adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
29 txopn 17297 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  ( U. S  \  B )  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  ( U. S  \  B
) )  e.  ( R  tX  S ) )
3017, 18, 26, 28, 29syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R 
tX  S ) )
31 unopn 16649 . . . 4  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3216, 24, 30, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3314, 32eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. ( R  tX  S
)  \  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )
34 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
3534iscld 16764 . . 3  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Top  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3616, 35syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3711, 33, 36mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   Clsdccld 16753    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  txcls  17299  cnmpt2pc  18426  txcldOLD  26489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-tx 17257
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