MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcld Structured version   Unicode version

Theorem txcld 17666
Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )

Proof of Theorem txcld
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
21cldss 17124 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  A  C_  U. R
)
3 eqid 2442 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
43cldss 17124 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  B  C_  U. S
)
5 xpss12 5010 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. R  /\  B  C_  U. S )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
62, 4, 5syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
7 cldrcl 17121 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  R  e.  Top )
8 cldrcl 17121 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  S  e.  Top )
91, 3txuni 17655 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
107, 8, 9syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
116, 10sseqtrd 3370 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
12 difxp 6409 . . . 4  |-  ( ( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( U. R  \  A
)  X.  U. S
)  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )
1310difeq1d 3450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \ 
( A  X.  B
) ) )
1412, 13syl5eqr 2488 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \  ( A  X.  B ) ) )
15 txtop 17632 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
167, 8, 15syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
177adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  R  e.  Top )
188adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  S  e.  Top )
191cldopn 17126 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
2019adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
213topopn 17010 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. S  e.  S )
23 txopn 17665 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( ( U. R  \  A )  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
2417, 18, 20, 22, 23syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
251topopn 17010 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
2617, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. R  e.  R )
273cldopn 17126 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
2827adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
29 txopn 17665 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  ( U. S  \  B )  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  ( U. S  \  B
) )  e.  ( R  tX  S ) )
3017, 18, 26, 28, 29syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R 
tX  S ) )
31 unopn 17007 . . . 4  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3216, 24, 30, 31syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3314, 32eqeltrrd 2517 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. ( R  tX  S
)  \  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )
34 eqid 2442 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
3534iscld 17122 . . 3  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Top  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3616, 35syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3711, 33, 36mpbir2and 890 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    \ cdif 3303    u. cun 3304    C_ wss 3306   U.cuni 4039    X. cxp 4905   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Topctop 16989   Clsdccld 17111    tX ctx 17623
This theorem is referenced by:  txcls  17667  cnmpt2pc  18984  sxbrsigalem3  24653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-topgen 13698  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cld 17114  df-tx 17625
  Copyright terms: Public domain W3C validator