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Theorem txcld 17588
Description: The product of two closed sets is closed in the product topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcld  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )

Proof of Theorem txcld
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
21cldss 17048 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  A  C_  U. R
)
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
43cldss 17048 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  B  C_  U. S
)
5 xpss12 4940 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U. R  /\  B  C_  U. S )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
62, 4, 5syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
7 cldrcl 17045 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  R  e.  Top )
8 cldrcl 17045 . . . 4  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  S  e.  Top )
91, 3txuni 17577 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
107, 8, 9syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  U. S
)  =  U. ( R  tX  S ) )
116, 10sseqtrd 3344 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
12 difxp 6339 . . . 4  |-  ( ( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( U. R  \  A
)  X.  U. S
)  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )
1310difeq1d 3424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  X.  U. S )  \  ( A  X.  B ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \ 
( A  X.  B
) ) )
1412, 13syl5eqr 2450 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  =  ( U. ( R  tX  S )  \  ( A  X.  B ) ) )
15 txtop 17554 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
167, 8, 15syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
177adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  R  e.  Top )
188adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  S  e.  Top )
191cldopn 17050 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Clsd `  R
)  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
2019adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  \  A )  e.  R )
213topopn 16934 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
2218, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. S  e.  S )
23 txopn 17587 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( ( U. R  \  A )  e.  R  /\  U. S  e.  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
2417, 18, 20, 22, 23syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S ) )
251topopn 16934 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
2617, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  U. R  e.  R )
273cldopn 17050 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  S
)  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
2827adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S )
29 txopn 17587 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( U. R  e.  R  /\  ( U. S  \  B )  e.  S ) )  -> 
( U. R  X.  ( U. S  \  B
) )  e.  ( R  tX  S ) )
3017, 18, 26, 28, 29syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R 
tX  S ) )
31 unopn 16931 . . . 4  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  e.  ( R  tX  S )  /\  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3216, 24, 30, 31syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( ( U. R  \  A )  X.  U. S )  u.  ( U. R  X.  ( U. S  \  B ) ) )  e.  ( R  tX  S ) )
3314, 32eqeltrrd 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( U. ( R  tX  S
)  \  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) )
34 eqid 2404 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
3534iscld 17046 . . 3  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Top  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3616, 35syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  (
( A  X.  B
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )  <->  ( ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
)  /\  ( U. ( R  tX  S ) 
\  ( A  X.  B ) )  e.  ( R  tX  S
) ) ) )
3711, 33, 36mpbir2and 889 1  |-  ( ( A  e.  ( Clsd `  R )  /\  B  e.  ( Clsd `  S
) )  ->  ( A  X.  B )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Topctop 16913   Clsdccld 17035    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  txcls  17589  cnmpt2pc  18906  sxbrsigalem3  24575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-tx 17547
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