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Theorem txcls 17628
Description: Closure of a rectangle in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcls  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem txcls
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
21ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  R  e.  Top )
3 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  X )
4 toponuni 16984 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
54ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  X  =  U. R )
63, 5sseqtrd 3376 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  U. R )
7 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
87clscld 17103 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  e.  ( Clsd `  R ) )
92, 6, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
) )
10 topontop 16983 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
1110ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  S  e.  Top )
12 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  Y )
13 toponuni 16984 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
1413ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Y  =  U. S )
1512, 14sseqtrd 3376 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  U. S )
16 eqid 2435 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
1716clscld 17103 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  e.  ( Clsd `  S ) )
1811, 15, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  e.  ( Clsd `  S
) )
19 txcld 17627 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( ( cls `  S ) `  B )  e.  (
Clsd `  S )
)  ->  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )
209, 18, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
217sscls 17112 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  A  C_  (
( cls `  R
) `  A )
)
222, 6, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  ( ( cls `  R ) `  A
) )
2316sscls 17112 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  B  C_  (
( cls `  S
) `  B )
)
2411, 15, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  ( ( cls `  S ) `  B
) )
25 xpss12 4973 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( ( cls `  R ) `  A )  /\  B  C_  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
2622, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
27 eqid 2435 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2827clsss2 17128 . . 3  |-  ( ( ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) )  /\  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
2920, 26, 28syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
30 relxp 4975 . . . 4  |-  Rel  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Rel  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
32 opelxp 4900 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  <-> 
( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )
33 eltx 17592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( u  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
35 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3635anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
37362rexbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u ) ) )
3837rspccva 3043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) )
392ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  R  e.  Top )
406ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  A  C_  U. R )
41 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )
42 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
r  e.  R )
43 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
) )
44 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4543, 44sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4645simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  r )
477clsndisj 17131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R  /\  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )  /\  ( r  e.  R  /\  x  e.  r
) )  ->  (
r  i^i  A )  =/=  (/) )
4839, 40, 41, 42, 46, 47syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  i^i  A
)  =/=  (/) )
49 n0 3629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  S  e.  Top )
5215ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  B  C_  U. S )
53 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )
54 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
s  e.  S )
5545simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  s )
5616clsndisj 17131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  s
) )  ->  (
s  i^i  B )  =/=  (/) )
5751, 52, 53, 54, 55, 56syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( s  i^i  B
)  =/=  (/) )
58 n0 3629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
5957, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
60 eeanv 1937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  <->  ( E. z  z  e.  (
r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) ) )
61 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( r  X.  s
)
62 opelxpi 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
63 inxp 4999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
6462, 63syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
6561, 64sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )
66 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  u )
6766sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  <.
z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
6865, 67sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
69 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
7069, 64sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B
) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )
72 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. z ,  w >.  e.  u  /\  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) )
7368, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7473ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7574exlimdvv 1647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7660, 75syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( E. z 
z  e.  ( r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7750, 59, 76mp2and 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7877expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7978rexlimdvva 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
8038, 79syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
8180exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8234, 81sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  u  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8382ralrimiv 2780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
84 txtopon 17615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
86 topontop 16983 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
8785, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
88 xpss12 4973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
8988ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
90 toponuni 16984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
9185, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( R  tX  S ) )
9289, 91sseqtrd 3376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
937clsss3 17115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  C_  U. R )
942, 6, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_ 
U. R )
9594, 5sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_  X )
9695sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )
)  ->  x  e.  X )
9796adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  x  e.  X )
9816clsss3 17115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  C_  U. S )
9911, 15, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_ 
U. S )
10099, 14sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_  Y )
101100sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  y  e.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  y  e.  Y )
102101adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  y  e.  Y )
103 opelxpi 4902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10497, 102, 103syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )
105104, 91eleqtrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )
10627elcls 17129 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( A  X.  B
)  C_  U. ( R  tX  S )  /\  <.
x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S ) (
<. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10787, 92, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10883, 107mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) )
109108ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11032, 109syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( ( cls `  R ) `
 A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11131, 110relssdv 4960 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) 
C_  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) ) )
11229, 111eqssd 3357 1  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   U.cuni 4007    X. cxp 4868   Rel wrel 4875   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072   clsccl 17074    tX ctx 17584
This theorem is referenced by:  clssubg  18130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-tx 17586
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