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Theorem txcls 17299
Description: Closure of a rectangle in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcls  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem txcls
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
21ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  R  e.  Top )
3 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  X )
4 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
54ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  X  =  U. R )
63, 5sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  U. R )
7 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
87clscld 16784 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  e.  ( Clsd `  R ) )
92, 6, 8syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
) )
10 topontop 16664 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
1110ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  S  e.  Top )
12 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  Y )
13 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
1413ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Y  =  U. S )
1512, 14sseqtrd 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  U. S )
16 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
1716clscld 16784 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  e.  ( Clsd `  S ) )
1811, 15, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  e.  ( Clsd `  S
) )
19 txcld 17298 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( ( cls `  S ) `  B )  e.  (
Clsd `  S )
)  ->  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )
209, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
217sscls 16793 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  A  C_  (
( cls `  R
) `  A )
)
222, 6, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  ( ( cls `  R ) `  A
) )
2316sscls 16793 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  B  C_  (
( cls `  S
) `  B )
)
2411, 15, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  ( ( cls `  S ) `  B
) )
25 xpss12 4792 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( ( cls `  R ) `  A )  /\  B  C_  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
2622, 24, 25syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2827clsss2 16809 . . 3  |-  ( ( ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) )  /\  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
2920, 26, 28syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
30 relxp 4794 . . . 4  |-  Rel  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)
3130a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Rel  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
32 opelxp 4719 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  <-> 
( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )
33 eltx 17263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( u  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
35 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3635anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
37362rexbidv 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u ) ) )
3837rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) )
392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  R  e.  Top )
406ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  A  C_  U. R )
41 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )
42 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
r  e.  R )
43 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
) )
44 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4543, 44sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4645simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  r )
477clsndisj 16812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R  /\  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )  /\  ( r  e.  R  /\  x  e.  r
) )  ->  (
r  i^i  A )  =/=  (/) )
4839, 40, 41, 42, 46, 47syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  i^i  A
)  =/=  (/) )
49 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5048, 49sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  S  e.  Top )
5215ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  B  C_  U. S )
53 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )
54 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
s  e.  S )
5545simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  s )
5616clsndisj 16812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  s
) )  ->  (
s  i^i  B )  =/=  (/) )
5751, 52, 53, 54, 55, 56syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( s  i^i  B
)  =/=  (/) )
58 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
5957, 58sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
60 eeanv 1854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  <->  ( E. z  z  e.  (
r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) ) )
61 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( r  X.  s
)
62 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
63 inxp 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
6462, 63syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
6561, 64sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )
66 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  u )
6766sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  <.
z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
6865, 67sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
69 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
7069, 64sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B
) )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )
72 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. z ,  w >.  e.  u  /\  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) )
7368, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7473ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7574exlimdvv 1668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7660, 75syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( E. z 
z  e.  ( r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7750, 59, 76mp2and 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7877expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7978rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
8038, 79syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
8180exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8234, 81sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  u  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8382ralrimiv 2625 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
84 txtopon 17286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
86 topontop 16664 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
8785, 86syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
88 xpss12 4792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
8988ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
90 toponuni 16665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
9185, 90syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( R  tX  S ) )
9289, 91sseqtrd 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
937clsss3 16796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  C_  U. R )
942, 6, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_ 
U. R )
9594, 5sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_  X )
9695sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )
)  ->  x  e.  X )
9796adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  x  e.  X )
9816clsss3 16796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  C_  U. S )
9911, 15, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_ 
U. S )
10099, 14sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_  Y )
101100sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  y  e.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  y  e.  Y )
102101adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  y  e.  Y )
103 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10497, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )
105104, 91eleqtrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )
10627elcls 16810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( A  X.  B
)  C_  U. ( R  tX  S )  /\  <.
x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S ) (
<. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10787, 92, 105, 106syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10883, 107mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) )
109108ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11032, 109syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( ( cls `  R ) `
 A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11131, 110relssdv 4779 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) 
C_  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) ) )
11229, 111eqssd 3196 1  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   U.cuni 3827    X. cxp 4687   Rel wrel 4694   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  clssubg  17791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-tx 17257
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