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Theorem txcls 17550
Description: Closure of a rectangle in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcls  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem txcls
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16907 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
21ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  R  e.  Top )
3 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  X )
4 toponuni 16908 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
54ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  X  =  U. R )
63, 5sseqtrd 3320 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  U. R )
7 eqid 2380 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
87clscld 17027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  e.  ( Clsd `  R ) )
92, 6, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
) )
10 topontop 16907 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
1110ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  S  e.  Top )
12 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  Y )
13 toponuni 16908 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
1413ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Y  =  U. S )
1512, 14sseqtrd 3320 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  U. S )
16 eqid 2380 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
1716clscld 17027 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  e.  ( Clsd `  S ) )
1811, 15, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  e.  ( Clsd `  S
) )
19 txcld 17549 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  R
) `  A )  e.  ( Clsd `  R
)  /\  ( ( cls `  S ) `  B )  e.  (
Clsd `  S )
)  ->  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )
209, 18, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
217sscls 17036 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  A  C_  (
( cls `  R
) `  A )
)
222, 6, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  A  C_  ( ( cls `  R ) `  A
) )
2316sscls 17036 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  B  C_  (
( cls `  S
) `  B )
)
2411, 15, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  B  C_  ( ( cls `  S ) `  B
) )
25 xpss12 4914 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ( ( cls `  R ) `  A )  /\  B  C_  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
2622, 24, 25syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( (
( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )
27 eqid 2380 . . . 4  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
2827clsss2 17052 . . 3  |-  ( ( ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S ) )  /\  ( A  X.  B )  C_  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
2920, 26, 28syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  C_  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
30 relxp 4916 . . . 4  |-  Rel  (
( ( cls `  R
) `  A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  ->  Rel  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
32 opelxp 4841 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )  <-> 
( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )
33 eltx 17514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( u  e.  ( R  tX  S
)  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
35 eleq1 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( r  X.  s
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3635anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )
37362rexbidv 2685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u ) ) )
3837rspccva 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) )
392ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  R  e.  Top )
406ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  A  C_  U. R )
41 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )
42 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
r  e.  R )
43 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
) )
44 opelxp 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4543, 44sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( x  e.  r  /\  y  e.  s ) )
4645simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  x  e.  r )
477clsndisj 17055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R  /\  x  e.  ( ( cls `  R ) `  A ) )  /\  ( r  e.  R  /\  x  e.  r
) )  ->  (
r  i^i  A )  =/=  (/) )
4839, 40, 41, 42, 46, 47syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  i^i  A
)  =/=  (/) )
49 n0 3573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5048, 49sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( r  i^i  A
) )
5111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  S  e.  Top )
5215ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  B  C_  U. S )
53 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  ( ( cls `  S ) `
 B ) )
54 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
s  e.  S )
5545simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
y  e.  s )
5616clsndisj 17055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  s
) )  ->  (
s  i^i  B )  =/=  (/) )
5751, 52, 53, 54, 55, 56syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( s  i^i  B
)  =/=  (/) )
58 n0 3573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
5957, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  ->  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) )
60 eeanv 1926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  <->  ( E. z  z  e.  (
r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B
) ) )
61 inss1 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( r  X.  s
)
62 opelxpi 4843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
63 inxp 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
6462, 63syl6eleqr 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
6561, 64sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )
66 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  u )
6766sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  <.
z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
6865, 67sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  u
)
69 inss2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
7069, 64sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B
) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )
72 inelcm 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. z ,  w >.  e.  u  /\  <. z ,  w >.  e.  ( A  X.  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) )
7368, 71, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  (
( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  /\  ( z  e.  ( r  i^i  A )  /\  w  e.  ( s  i^i  B ) ) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7473ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7574exlimdvv 1644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( E. z E. w ( z  e.  ( r  i^i  A
)  /\  w  e.  ( s  i^i  B
) )  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
7660, 75syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( ( E. z 
z  e.  ( r  i^i  A )  /\  E. w  w  e.  ( s  i^i  B ) )  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7750, 59, 76mp2and 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) )
7877expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y
) )  /\  (
x  e.  ( ( cls `  R ) `
 A )  /\  y  e.  ( ( cls `  S ) `  B ) ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
7978rexlimdvva 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( <. x ,  y
>.  e.  ( r  X.  s )  /\  (
r  X.  s ) 
C_  u )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
8038, 79syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  /\  <. x ,  y >.  e.  u
)  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B
) )  =/=  (/) ) )
8180exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A. z  e.  u  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  ( r  X.  s )  /\  ( r  X.  s )  C_  u
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8234, 81sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  (
u  e.  ( R 
tX  S )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  u  ->  (
u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
8382ralrimiv 2724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) )
84 txtopon 17537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
86 topontop 16907 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
8785, 86syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
88 xpss12 4914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  Y )  -> 
( A  X.  B
)  C_  ( X  X.  Y ) )
8988ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( X  X.  Y
) )
90 toponuni 16908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
9185, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. ( R  tX  S ) )
9289, 91sseqtrd 3320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( A  X.  B )  C_  U. ( R  tX  S
) )
937clsss3 17039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  C_  U. R )  ->  ( ( cls `  R ) `  A
)  C_  U. R )
942, 6, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_ 
U. R )
9594, 5sseqtr4d 3321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  R
) `  A )  C_  X )
9695sselda 3284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )
)  ->  x  e.  X )
9796adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  x  e.  X )
9816clsss3 17039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  C_  U. S )  ->  ( ( cls `  S ) `  B
)  C_  U. S )
9911, 15, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_ 
U. S )
10099, 14sseqtr4d 3321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  S
) `  B )  C_  Y )
101100sselda 3284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  y  e.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  y  e.  Y )
102101adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  y  e.  Y )
103 opelxpi 4843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
10497, 102, 103syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )
105104, 91eleqtrd 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )
10627elcls 17053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( A  X.  B
)  C_  U. ( R  tX  S )  /\  <.
x ,  y >.  e.  U. ( R  tX  S ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S ) (
<. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10787, 92, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  <->  A. u  e.  ( R  tX  S
) ( <. x ,  y >.  e.  u  ->  ( u  i^i  ( A  X.  B ) )  =/=  (/) ) ) )
10883, 107mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  /\  ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) )
109108ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( ( cls `  R
) `  A )  /\  y  e.  (
( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11032, 109syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( ( cls `  R ) `
 A )  X.  ( ( cls `  S
) `  B )
)  ->  <. x ,  y >.  e.  (
( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) ) ) )
11131, 110relssdv 4901 . 2  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) 
C_  ( ( cls `  ( R  tX  S
) ) `  ( A  X.  B ) ) )
11229, 111eqssd 3301 1  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( A  C_  X  /\  B  C_  Y ) )  -> 
( ( cls `  ( R  tX  S ) ) `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( ( cls `  R ) `  A
)  X.  ( ( cls `  S ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   <.cop 3753   U.cuni 3950    X. cxp 4809   Rel wrel 4816   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Topctop 16874  TopOnctopon 16875   Clsdccld 16996   clsccl 16998    tX ctx 17506
This theorem is referenced by:  clssubg  18052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-tx 17508
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