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Theorem txcmplem2 17336
Description: Lemma for txcmp 17337. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txcmp.x  |-  X  = 
U. R
txcmp.y  |-  Y  = 
U. S
txcmp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txcmp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
txcmp.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
txcmp.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
Assertion
Ref Expression
txcmplem2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Distinct variable groups:    v, S    v, Y    v, W    v, X
Allowed substitution hints:    ph( v)    R( v)

Proof of Theorem txcmplem2
Dummy variables  f  u  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcmp.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Comp )
2 txcmp.x . . . . 5  |-  X  = 
U. R
3 txcmp.y . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
4 txcmp.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  Comp )
61adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  S  e.  Comp )
7 txcmp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  C_  ( R  tX  S ) )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  W  C_  ( R  tX  S
) )
9 txcmp.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  Y )  = 
U. W )
11 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
122, 3, 5, 6, 8, 10, 11txcmplem1 17335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
1312ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  u )  C_  U. v
) )
14 unieq 3836 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  U. v  =  U. ( f `  u ) )
1514sseq2d 3206 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. v  <->  ( X  X.  u ) 
C_  U. ( f `  u ) ) )
163, 15cmpcovf 17118 . . 3  |-  ( ( S  e.  Comp  /\  A. x  e.  Y  E. u  e.  S  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  u
)  C_  U. v
) )  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
171, 13, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) ) )
18 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )
)
19 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  f  Fn  w )
20 fniunfv 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  w  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  =  U. ran  f )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  =  U. ran  f )
22 frn 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
2318, 22syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ( ~P W  i^i  Fin )
)
24 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
~P W
2523, 24syl6ss 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  ran  f  C_  ~P W
)
26 sspwuni 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  C_  ~P W  <->  U.
ran  f  C_  W
)
2725, 26sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U. ran  f  C_  W
)
2821, 27eqsstrd 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  C_  W )
29 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
30 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
3129, 30iunex 5770 . . . . . . . . . 10  |-  U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  _V
3231elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ z  e.  w  (
f `  z )  e.  ~P W  <->  U_ z  e.  w  ( f `  z )  C_  W
)
3328, 32sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
34 inss2 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
35 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )
3634, 35sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  w  e.  Fin )
37 inss2 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P W  i^i  Fin )  C_ 
Fin
38 fss 5397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( ~P W  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : w --> Fin )
3918, 37, 38sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
f : w --> Fin )
40 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : w --> Fin  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  Fin )
4140ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : w --> Fin  ->  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )
4239, 41syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
43 iunfi 7144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  A. z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
4436, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  Fin )
45 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( U_ z  e.  w  (
f `  z )  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  <->  ( U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  ~P W  /\  U_ z  e.  w  ( f `  z )  e.  Fin ) )
4633, 44, 45sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
47 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U. w
)
48 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. w  =  U_ z  e.  w  z
4947, 48syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  Y  =  U_ z  e.  w  z )
5049xpeq2d 4713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  ( X  X.  U_ z  e.  w  z ) )
51 xpiundi 4743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  X.  U_ z  e.  w  z )  = 
U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)
5250, 51syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  ( X  X.  z ) )
53 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)
54 xpeq2 4704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  ( X  X.  u )  =  ( X  X.  z
) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
5655unieqd 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  z  ->  U. (
f `  u )  =  U. ( f `  z ) )
5754, 56sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  (
( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )  <->  ( X  X.  z ) 
C_  U. ( f `  z ) ) )
5857cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
)  <->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
5953, 58sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U. (
f `  z )
)
60 ss2iun 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U. ( f `  z
)  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z )  C_  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  ( X  X.  z
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
6252, 61eqsstrd 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  C_  U_ z  e.  w  U. ( f `
 z ) )
63 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  z  e.  w
)  ->  ( f `  z )  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) )
6418, 63sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
)
6524, 64sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( f `  z
)  e.  ~P W
)
66 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z )  e.  ~P W  -> 
( f `  z
)  C_  W )
67 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  z ) 
C_  W  ->  U. (
f `  z )  C_ 
U. W )
6865, 66, 673syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  U. W
)
699ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. W
)
7068, 69sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  = 
U. w  /\  (
f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) ) )  /\  z  e.  w )  ->  U. ( f `  z )  C_  ( X  X.  Y ) )
7170ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  A. z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
72 iunss 3943 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y )  <->  A. z  e.  w  U. (
f `  z )  C_  ( X  X.  Y
) )
7371, 72sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  U_ z  e.  w  U. ( f `  z
)  C_  ( X  X.  Y ) )
7462, 73eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )
)
75 iuncom4 3912 . . . . . . . 8  |-  U_ z  e.  w  U. (
f `  z )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z )
7674, 75syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  -> 
( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)
77 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  U. v  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) )
7877eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  U_ z  e.  w  ( f `  z )  ->  (
( X  X.  Y
)  =  U. v  <->  ( X  X.  Y )  =  U. U_ z  e.  w  ( f `  z ) ) )
7978rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ z  e.  w  ( f `  z
)  e.  ( ~P W  i^i  Fin )  /\  ( X  X.  Y
)  =  U. U_ z  e.  w  (
f `  z )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
8046, 76, 79syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  ( Y  =  U. w  /\  ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. (
f `  u )
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
)
8180expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8281exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  /\  Y  =  U. w )  -> 
( E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
)  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8382expimpd 586 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) )  ->  (
( Y  =  U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u
)  C_  U. (
f `  u )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v ) )
8483rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( ~P S  i^i  Fin ) ( Y  = 
U. w  /\  E. f ( f : w --> ( ~P W  i^i  Fin )  /\  A. u  e.  w  ( X  X.  u )  C_  U. ( f `  u
) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin )
( X  X.  Y
)  =  U. v
) )
8517, 84mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ~P W  i^i  Fin ) ( X  X.  Y )  =  U. v )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Compccmp 17113    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  txcmp  17337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cmp 17114  df-tx 17257
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