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Theorem txcn 17689
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcn.1  |-  X  = 
U. R
txcn.2  |-  Y  = 
U. S
txcn.3  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
txcn.4  |-  W  = 
U. U
txcn.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
txcn.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
txcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcn.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. R
21toptopon 17029 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txcn.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 17029 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txcn.5 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
6 txcn.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
76reseq2i 5172 . . . . . . 7  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
85, 7eqtri 2462 . . . . . 6  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
9 tx1cn 17672 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
108, 9syl5eqel 2526 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
11 txcn.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
126reseq2i 5172 . . . . . . 7  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
1311, 12eqtri 2462 . . . . . 6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
14 tx2cn 17673 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
1513, 14syl5eqel 2526 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
16 cnco 17361 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R ) )
17 cnco 17361 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )
1816, 17anim12dan 812 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( P  e.  (
( R  tX  S
)  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) ) )  ->  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )
1918expcom 426 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
2010, 15, 19syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
212, 4, 20syl2anb 467 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
22213adant3 978 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
23 cntop1 17335 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
2423ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  U  e.  Top )
25 txcn.4 . . . . . . . 8  |-  W  = 
U. U
2625topopn 17010 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  W  e.  U )
2724, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  W  e.  U )
2825, 1cnf 17341 . . . . . . 7  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
2928ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
3025, 3cnf 17341 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
3130ad2antll 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
328, 13upxp 17686 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> ( X  X.  Y )  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
33 feq3 5607 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) )
35343anbi1i 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3635eubii 2296 . . . . . . 7  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3732, 36sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
3827, 29, 31, 37syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
39 euex 2310 . . . . 5  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
41 simpll3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F : W
--> Z )
4227adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  W  e.  U )
431topopn 17010 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
443topopn 17010 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
45 xpexg 5018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
466, 45syl5eqel 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  Z  e.  _V )
4743, 44, 46syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  e.  _V )
48473adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  e.  _V )
4948ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  Z  e.  _V )
50 fex2 5632 . . . . . . 7  |-  ( ( F : W --> Z  /\  W  e.  U  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  _V )
52 eumo 2327 . . . . . . . 8  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5338, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5453adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E* h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
55 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
56 3anass 941 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
57 coeq2 5060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h ) )
58 coeq2 5060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  h  ->  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )
5957, 58jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  h  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6059eqcoms 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  F  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6160biantrud 495 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  ( h : W --> Z  /\  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
62 feq1 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  F : W
--> Z ) )
6361, 62bitr3d 248 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  <->  F : W
--> Z ) )
6456, 63syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  F : W --> Z ) )
6564moi2 3121 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\ 
E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  h  =  F )
6651, 54, 55, 41, 65syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  =  F )
67 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
tX  S )  =  ( R  tX  S
)
6867, 1, 3, 6, 5, 11uptx 17688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
6968adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
70 df-reu 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
71 euex 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
7270, 71sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
73 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7425, 73cnf 17341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) )
751, 3txuni 17655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
766, 75syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
77763adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
7877adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
79 feq3 5607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  =  U. ( R 
tX  S )  -> 
( h : W --> Z 
<->  h : W --> U. ( R  tX  S ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) ) )
8174, 80syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W --> Z ) )
8281anim1d 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
8382, 56syl6ibr 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
84 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
8683, 85jcad 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) ) )
8786eximdv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) ) )
8872, 87syl5 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) ) ) ) )
8969, 88mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) )
90 eupick 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9138, 89, 90syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9291imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9366, 92eqeltrrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9440, 93exlimddv 1649 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9594ex 425 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9622, 95impbid 185 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   E!weu 2287   E*wmo 2288   E!wreu 2713   _Vcvv 2962   U.cuni 4039    X. cxp 4905    |` cres 4909    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1stc1st 6376   2ndc2nd 6377   Topctop 16989  TopOnctopon 16990    Cn ccn 17319    tX ctx 17623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 7049  df-topgen 13698  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cn 17322  df-tx 17625
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