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Theorem txcn 17376
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous iff both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcn.1  |-  X  = 
U. R
txcn.2  |-  Y  = 
U. S
txcn.3  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
txcn.4  |-  W  = 
U. U
txcn.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
txcn.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
txcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )

Proof of Theorem txcn
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcn.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. R
21toptopon 16727 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txcn.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 16727 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txcn.5 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
6 txcn.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
76reseq2i 4989 . . . . . . 7  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
85, 7eqtri 2336 . . . . . 6  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
9 tx1cn 17359 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
108, 9syl5eqel 2400 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
11 txcn.6 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
126reseq2i 4989 . . . . . . 7  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
1311, 12eqtri 2336 . . . . . 6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
14 tx2cn 17360 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
1513, 14syl5eqel 2400 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
16 cnco 17051 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  -> 
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R ) )
17 cnco 17051 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )
1816, 17anim12dan 810 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( P  e.  (
( R  tX  S
)  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) ) )  ->  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )
1918expcom 424 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R )  /\  Q  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
2010, 15, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
212, 4, 20syl2anb 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
22213adant3 975 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  ->  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
23 cntop1 17026 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
2423ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  U  e.  Top )
25 txcn.4 . . . . . . . 8  |-  W  = 
U. U
2625topopn 16708 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  Top  ->  W  e.  U )
2724, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  W  e.  U )
2825, 1cnf 17032 . . . . . . 7  |-  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
2928ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( P  o.  F ) : W --> X )
3025, 3cnf 17032 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
3130ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( Q  o.  F ) : W --> Y )
328, 13upxp 17373 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> ( X  X.  Y )  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
33 feq3 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  ( X  X.  Y )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) ) )
346, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( h : W --> Z  <->  h : W
--> ( X  X.  Y
) )
35343anbi1i 1142 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3635eubii 2185 . . . . . . 7  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h : W --> ( X  X.  Y
)  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
3732, 36sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  U  /\  ( P  o.  F
) : W --> X  /\  ( Q  o.  F
) : W --> Y )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
3827, 29, 31, 37syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
39 euex 2199 . . . . 5  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
4038, 39syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
41 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F : W
--> Z )
4227adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  W  e.  U )
431topopn 16708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
443topopn 16708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
45 xpexg 4837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  X.  Y
)  e.  _V )
466, 45syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  S )  ->  Z  e.  _V )
4743, 44, 46syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  e.  _V )
48473adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  e.  _V )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  Z  e.  _V )
50 fex2 5439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : W --> Z  /\  W  e.  U  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
5141, 42, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  _V )
52 eumo 2216 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5338, 52syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
5453adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E* h
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
55 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
56 3anass 938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
57 coeq2 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  =  h  ->  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h ) )
58 coeq2 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  =  h  ->  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )
5957, 58jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  =  h  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6059eqcoms 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  F  ->  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )
6160biantrud 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  ( h : W --> Z  /\  (
( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
62 feq1 5412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  F  ->  (
h : W --> Z  <->  F : W
--> Z ) )
6361, 62bitr3d 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  <->  F : W
--> Z ) )
6456, 63syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  F  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  <->  F : W --> Z ) )
6564moi2 2980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\ 
E* h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  F : W --> Z ) )  ->  h  =  F )
6651, 54, 55, 41, 65syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  =  F )
67 eqid 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R 
tX  S )  =  ( R  tX  S
)
6867, 1, 3, 6, 5, 11uptx 17375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
6968adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )
70 df-reu 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  <-> 
E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
71 euex 2199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
7270, 71sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
73 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7425, 73cnf 17032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) )
751, 3txuni 17343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
766, 75syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
77763adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  Z  =  U. ( R  tX  S ) )
79 feq3 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z  =  U. ( R 
tX  S )  -> 
( h : W --> Z 
<->  h : W --> U. ( R  tX  S ) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h : W --> Z  <->  h : W
--> U. ( R  tX  S ) ) )
8174, 80syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  ->  h : W --> Z ) )
8281anim1d 547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
8382, 56syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
84 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
8683, 85jcad 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) ) )
8786eximdv 1613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h
)  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) ) )
8872, 87syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E! h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) ) ) ) )
8969, 88mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  E. h
( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) )
90 eupick 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E! h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) )  /\  E. h ( ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  /\  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9138, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9291imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  h  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9366, 92eqeltrrd 2391 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  (
( P  o.  F
)  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F
)  e.  ( U  Cn  S ) ) )  /\  ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F
)  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F
)  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9493ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  (
( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9594exlimdv 1627 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  ( E. h ( h : W --> Z  /\  ( P  o.  F )  =  ( P  o.  h )  /\  ( Q  o.  F )  =  ( Q  o.  h ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) ) )
9640, 95mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  /\  ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
9796ex 423 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( ( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R
)  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) ) )
9822, 97impbid 183 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  F : W --> Z )  -> 
( F  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( ( P  o.  F )  e.  ( U  Cn  R )  /\  ( Q  o.  F )  e.  ( U  Cn  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   E!weu 2176   E*wmo 2177   E!wreu 2579   _Vcvv 2822   U.cuni 3864    X. cxp 4724    |` cres 4728    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   Topctop 16687  TopOnctopon 16688    Cn ccn 17010    tX ctx 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6817  df-topgen 13393  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cn 17013  df-tx 17313
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