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Theorem txcnmpt 17648
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1  |-  W  = 
U. U
txcnmpt.2  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, R    x, S    x, U    x, W
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7  |-  W  = 
U. U
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
31, 2cnf 17302 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : W --> U. R )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
54ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( F `  x )  e.  U. R )
6 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
71, 6cnf 17302 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : W --> U. S )
87adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : W --> U. S
)
98ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( G `  x )  e.  U. S )
10 opelxpi 4902 . . . 4  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  U. R  /\  ( G `  x
)  e.  U. S
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
115, 9, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
12 txcnmpt.2 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
1311, 12fmptd 5885 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H : W --> ( U. R  X.  U. S ) )
1412mptpreima 5355 . . . . . 6  |-  ( `' H " ( r  X.  s ) )  =  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( r  X.  s ) }
154adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  F : W --> U. R )
17 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : W --> U. R  ->  F  Fn  W )
18 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
20 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2120adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2219, 21bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( F `  x
)  e.  r ) )
238ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  G : W --> U. S )
24 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : W --> U. S  ->  G  Fn  W )
25 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
2623, 24, 253syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
27 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2926, 28bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( G `  x
)  e.  s ) )
3022, 29anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( x  e.  ( `' F " r )  /\  x  e.  ( `' G " s ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) ) )
31 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
r )  /\  x  e.  ( `' G "
s ) ) )
32 opelxp 4900 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) )
3330, 31, 323bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3433rabbi2dva 3541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  {
x  e.  W  |  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
) } )
35 inss1 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  ( `' F " r )
36 cnvimass 5216 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " r ) 
C_  dom  F
3735, 36sstri 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  dom  F
38 fdm 5587 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : W --> U. R  ->  dom  F  =  W )
3915, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  dom  F  =  W )
4037, 39syl5sseq 3388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W )
41 dfss1 3537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W  <->  ( W  i^i  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4240, 41sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4334, 42eqtr3d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( r  X.  s ) }  =  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4414, 43syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
45 cntop1 17296 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  U  e.  Top )
4645adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  Top )
4746adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  U  e.  Top )
48 cnima 17321 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  r  e.  R )  ->  ( `' F "
r )  e.  U
)
4948ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' F "
r )  e.  U
)
50 cnima 17321 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( U  Cn  S )  /\  s  e.  S )  ->  ( `' G "
s )  e.  U
)
5150ad2ant2l 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' G "
s )  e.  U
)
52 inopn 16964 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Top  /\  ( `' F " r )  e.  U  /\  ( `' G " s )  e.  U )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5347, 49, 51, 52syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5444, 53eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  e.  U
)
5554ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
56 vex 2951 . . . . . 6  |-  r  e. 
_V
57 vex 2951 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
5856, 57xpex 4982 . . . . 5  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
5958rgen2w 2766 . . . 4  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
60 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
61 imaeq2 5191 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( `' H " z )  =  ( `' H " ( r  X.  s
) ) )
6261eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( `' H "
z )  e.  U  <->  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6360, 62ralrnmpt2 6176 . . . 4  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6459, 63ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
6555, 64sylibr 204 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U )
661toptopon 16990 . . . 4  |-  ( U  e.  Top  <->  U  e.  (TopOn `  W ) )
6746, 66sylib 189 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  (TopOn `  W
) )
68 cntop2 17297 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
69 cntop2 17297 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
70 eqid 2435 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
7170txval 17588 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
7268, 69, 71syl2an 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
732toptopon 16990 . . . . 5  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
7468, 73sylib 189 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
756toptopon 16990 . . . . 5  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
7669, 75sylib 189 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
77 txtopon 17615 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7874, 76, 77syl2an 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7967, 72, 78tgcn 17308 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( H  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( H : W --> ( U. R  X.  U. S )  /\  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U
) ) )
8013, 65, 79mpbir2and 889 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   topGenctg 13657   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    tX ctx 17584
This theorem is referenced by:  uptx  17649  hauseqlcld  17670  txkgen  17676  cnmpt1t  17689  cnmpt2t  17697  txpcon  24911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
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