Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Unicode version

Theorem txcnmpt 17648
 Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1
txcnmpt.2
Assertion
Ref Expression
txcnmpt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7
2 eqid 2435 . . . . . . 7
31, 2cnf 17302 . . . . . 6
43adantr 452 . . . . 5
54ffvelrnda 5862 . . . 4
6 eqid 2435 . . . . . . 7
71, 6cnf 17302 . . . . . 6
87adantl 453 . . . . 5
98ffvelrnda 5862 . . . 4
10 opelxpi 4902 . . . 4
115, 9, 10syl2anc 643 . . 3
12 txcnmpt.2 . . 3
1311, 12fmptd 5885 . 2
1412mptpreima 5355 . . . . . 6
154adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
17 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12
18 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 183syl 19 . . . . . . . . . . 11
20 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 453 . . . . . . . . . . 11
2219, 21bitr4d 248 . . . . . . . . . 10
238ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
24 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12
25 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . 12
2623, 24, 253syl 19 . . . . . . . . . . 11
27 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12
2827adantl 453 . . . . . . . . . . 11
2926, 28bitr4d 248 . . . . . . . . . 10
3022, 29anbi12d 692 . . . . . . . . 9
31 elin 3522 . . . . . . . . 9
32 opelxp 4900 . . . . . . . . 9
3330, 31, 323bitr4g 280 . . . . . . . 8
3433rabbi2dva 3541 . . . . . . 7
35 inss1 3553 . . . . . . . . . 10
36 cnvimass 5216 . . . . . . . . . 10
3735, 36sstri 3349 . . . . . . . . 9
38 fdm 5587 . . . . . . . . . 10
3915, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4037, 39syl5sseq 3388 . . . . . . . 8
41 dfss1 3537 . . . . . . . 8
4240, 41sylib 189 . . . . . . 7
4334, 42eqtr3d 2469 . . . . . 6
4414, 43syl5eq 2479 . . . . 5
45 cntop1 17296 . . . . . . . 8
4645adantl 453 . . . . . . 7
4746adantr 452 . . . . . 6
48 cnima 17321 . . . . . . 7
4948ad2ant2r 728 . . . . . 6
50 cnima 17321 . . . . . . 7
5150ad2ant2l 727 . . . . . 6
52 inopn 16964 . . . . . 6
5347, 49, 51, 52syl3anc 1184 . . . . 5
5444, 53eqeltrd 2509 . . . 4
5554ralrimivva 2790 . . 3
56 vex 2951 . . . . . 6
57 vex 2951 . . . . . 6
5856, 57xpex 4982 . . . . 5
5958rgen2w 2766 . . . 4
60 eqid 2435 . . . . 5
61 imaeq2 5191 . . . . . 6
6261eleq1d 2501 . . . . 5
6360, 62ralrnmpt2 6176 . . . 4
6459, 63ax-mp 8 . . 3
6555, 64sylibr 204 . 2
661toptopon 16990 . . . 4 TopOn
6746, 66sylib 189 . . 3 TopOn
68 cntop2 17297 . . . 4
69 cntop2 17297 . . . 4
70 eqid 2435 . . . . 5
7170txval 17588 . . . 4
7268, 69, 71syl2an 464 . . 3
732toptopon 16990 . . . . 5 TopOn
7468, 73sylib 189 . . . 4 TopOn
756toptopon 16990 . . . . 5 TopOn
7669, 75sylib 189 . . . 4 TopOn
77 txtopon 17615 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
7874, 76, 77syl2an 464 . . 3 TopOn
7967, 72, 78tgcn 17308 . 2
8013, 65, 79mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  cop 3809  cuni 4007   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  ctg 13657  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584 This theorem is referenced by:  uptx  17649  hauseqlcld  17670  txkgen  17676  cnmpt1t  17689  cnmpt2t  17697  txpcon  24911 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-tx 17586
 Copyright terms: Public domain W3C validator