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Theorem txcnmpt 17318
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1  |-  W  = 
U. U
txcnmpt.2  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, R    x, S    x, U    x, W
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7  |-  W  = 
U. U
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
31, 2cnf 16976 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : W --> U. R )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
5 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : W --> U. R  /\  x  e.  W
)  ->  ( F `  x )  e.  U. R )
64, 5sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( F `  x )  e.  U. R )
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
81, 7cnf 16976 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : W --> U. S )
98adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : W --> U. S
)
10 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( G : W --> U. S  /\  x  e.  W
)  ->  ( G `  x )  e.  U. S )
119, 10sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( G `  x )  e.  U. S )
12 opelxpi 4721 . . . 4  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  U. R  /\  ( G `  x
)  e.  U. S
)  ->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
136, 11, 12syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
14 txcnmpt.2 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
1513, 14fmptd 5684 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H : W --> ( U. R  X.  U. S ) )
1614mptpreima 5166 . . . . . 6  |-  ( `' H " ( r  X.  s ) )  =  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( r  X.  s ) }
174adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  F : W --> U. R )
19 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : W --> U. R  ->  F  Fn  W )
20 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
22 ibar 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2421, 23bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( F `  x
)  e.  r ) )
259ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  G : W --> U. S )
26 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : W --> U. S  ->  G  Fn  W )
27 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
29 ibar 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
3128, 30bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( G `  x
)  e.  s ) )
3224, 31anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( x  e.  ( `' F " r )  /\  x  e.  ( `' G " s ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) ) )
33 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
r )  /\  x  e.  ( `' G "
s ) ) )
34 opelxp 4719 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) )
3532, 33, 343bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3635rabbi2dva 3377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  {
x  e.  W  |  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
) } )
37 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  ( `' F " r )
38 cnvimass 5033 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " r ) 
C_  dom  F
3937, 38sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  dom  F
40 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : W --> U. R  ->  dom  F  =  W )
4117, 40syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  dom  F  =  W )
4239, 41syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W )
43 dfss1 3373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W  <->  ( W  i^i  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4442, 43sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4536, 44eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( r  X.  s ) }  =  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4616, 45syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
47 cntop1 16970 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  U  e.  Top )
4847adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  Top )
4948adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  U  e.  Top )
50 cnima 16994 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  r  e.  R )  ->  ( `' F "
r )  e.  U
)
5150ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' F "
r )  e.  U
)
52 cnima 16994 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( U  Cn  S )  /\  s  e.  S )  ->  ( `' G "
s )  e.  U
)
5352ad2ant2l 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' G "
s )  e.  U
)
54 inopn 16645 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Top  /\  ( `' F " r )  e.  U  /\  ( `' G " s )  e.  U )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5549, 51, 53, 54syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5646, 55eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  e.  U
)
5756ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
58 vex 2791 . . . . . 6  |-  r  e. 
_V
59 vex 2791 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
6058, 59xpex 4801 . . . . 5  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
6160rgen2w 2611 . . . 4  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
62 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
63 imaeq2 5008 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( `' H " z )  =  ( `' H " ( r  X.  s
) ) )
6463eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( `' H "
z )  e.  U  <->  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6562, 64ralrnmpt2 5958 . . . 4  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6661, 65ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
6757, 66sylibr 203 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U )
681toptopon 16671 . . . 4  |-  ( U  e.  Top  <->  U  e.  (TopOn `  W ) )
6948, 68sylib 188 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  (TopOn `  W
) )
70 cntop2 16971 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
71 cntop2 16971 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
72 eqid 2283 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
7372txval 17259 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
7470, 71, 73syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
752toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
7670, 75sylib 188 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
777toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
7871, 77sylib 188 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
79 txtopon 17286 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
8076, 78, 79syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
8169, 74, 80tgcn 16982 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( H  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( H : W --> ( U. R  X.  U. S )  /\  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U
) ) )
8215, 67, 81mpbir2and 888 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  uptx  17319  hauseqlcld  17340  txkgen  17346  cnmpt1t  17359  cnmpt2t  17367  txpcon  23763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
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