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Theorem txcnp 17314
Description: If two functions are continuous at  D, then the ordered pair of them is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnp.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnp.5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnp.6  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
txcnp.7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
txcnp.8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
txcnp.9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
Assertion
Ref Expression
txcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, Y    x, Z    x, D    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem txcnp
Dummy variables  s 
r  t  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnp.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 txcnp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txcnp.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
4 cnpf2 16980 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
85, 7sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
98r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
10 txcnp.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
11 txcnp.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
12 cnpf2 16980 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
131, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
14 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1514fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1613, 15sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Z )
1716r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
18 opelxpi 4721 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z
) )
199, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z ) )
20 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
2119, 20fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z ) )
22 txcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 opex 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2520fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
276fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
2823, 9, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
2914fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  Z )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )  =  B )
3023, 17, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3128, 30opeq12d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3226, 31eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
3332ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )
34 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
35 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x D
3634, 35nffv 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )
37 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
3837, 35nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
39 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  B )
4039, 35nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )
4138, 40nfop 3812 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.
4236, 41nfeq 2426 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D ) )
44 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) )
4644, 45opeq12d 3804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.
)
4743, 46eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4842, 47rspc 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4922, 33, 48sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >. )
5049eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
5150adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
523ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 D ) )
53 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  v  e.  K )
54 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v )
55 cnpimaex 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )  /\  v  e.  K  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5652, 53, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5711ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L ) `
 D ) )
58 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  w  e.  L )
59 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )
60 cnpimaex 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )  /\  w  e.  L  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
)  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
6256, 61jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
6362ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
64 opelxp 4719 . . . . . . 7  |-  ( <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.  e.  ( v  X.  w )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )
65 reeanv 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  J  E. s  e.  J  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
6663, 64, 653imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
6751, 66sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
68 an4 797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) ) )
69 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( r  i^i  s )  <->  ( D  e.  r  /\  D  e.  s ) )
7069biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s ) )
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  r  e.  J )
73 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  r  e.  J )  ->  r  C_  X )
741, 72, 73syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
r  C_  X )
75 ssinss1 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r 
C_  X  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7776sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  X )
7833ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  A. x  e.  X  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
79 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
t
8034, 79nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )
8137, 79nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
8239, 79nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
8381, 82nfop 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >.
8480, 83nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.
85 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t ) )
86 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) )
87 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) )
8886, 87opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 t ) >.
)
8985, 88eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
9084, 89rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
9177, 78, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. )
92 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  r
93 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  ( r  i^i  s
) )
9492, 93sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  r )
955ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
96 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9876adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
99 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
10095, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
10198, 100sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
102101, 93sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
103 funfvima 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( t  e.  r  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r ) ) )
10497, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  r  -> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
) ) )
10594, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) )
106 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  s
107106, 93sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  s )
10813ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
109 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
111 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
112108, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
11398, 112sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
114113, 93sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
115 funfvima 5753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  B )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )  ->  ( t  e.  s  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
116110, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  s  -> 
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
117107, 116mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )
118 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  ->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  X.  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
119105, 117, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
>.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
12091, 119eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
121120ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) )
122 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
12321, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
124123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
125 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12621, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  X )
127126adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12876, 127sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
129 funimass4 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  /\  ( r  i^i  s )  C_  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  <->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) ) )
130124, 128, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  <->  A. t  e.  (
r  i^i  s )
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) ) )
131121, 130mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
13274, 131syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
133132adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
134 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )  C_  ( v  X.  w ) )
135 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) 
C_  ( v  X.  w )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
136133, 134, 135syl2im 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
13771, 136anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
13868, 137syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) )
139 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1401, 139syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
141 inopn 16645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  ( r  i^i  s
)  e.  J )
1421413expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J
) )  ->  (
r  i^i  s )  e.  J )
143140, 142sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
144143adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
145138, 144jctild 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
146145expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
147 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
148 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) )
149148sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
150147, 149anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  ( v  X.  w ) )  <->  ( D  e.  ( r  i^i  s
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
151150rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  i^i  s
)  e.  J  /\  ( D  e.  (
r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
152146, 151syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
153152exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  (
( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
154153rexlimdvv 2673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
15567, 154syld 40 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
156155ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
157 vex 2791 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
158 vex 2791 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
159157, 158xpex 4801 . . . . 5  |-  ( v  X.  w )  e. 
_V
160159rgen2w 2611 . . . 4  |-  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( v  X.  w )  e.  _V
161 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
162 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  e.  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
) ) )
163 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) )
164163anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  y )  <->  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
165164rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
166162, 165imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <-> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
167161, 166ralrnmpt2 5958 . . . 4  |-  ( A. v  e.  K  A. w  e.  L  (
v  X.  w )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
168160, 167ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
169156, 168sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) )
170 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1712, 170syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
172 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
17310, 172syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
174 eqid 2283 . . . . 5  |-  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
175174txval 17259 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
176171, 173, 175syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
177 txtopon 17286 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1782, 10, 177syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1791, 176, 178, 22tgcnp 16983 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K 
tX  L ) ) `
 D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  /\  A. y  e.  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
18021, 169, 179mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    CnP ccnp 16955    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  limccnp2  19242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958  df-tx 17257
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