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Theorem txcnp 17330
Description: If two functions are continuous at  D, then the ordered pair of them is continuous at  D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnp.4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnp.5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnp.6  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
txcnp.7  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
txcnp.8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
txcnp.9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
Assertion
Ref Expression
txcnp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, Y    x, Z    x, D    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem txcnp
Dummy variables  s 
r  t  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnp.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 txcnp.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txcnp.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)
4 cnpf2 16996 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
85, 7sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
98r19.21bi 2654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
10 txcnp.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
11 txcnp.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)
12 cnpf2 16996 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )
)  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
131, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1514fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1613, 15sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Z )
1716r19.21bi 2654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
18 opelxpi 4737 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z
) )
199, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( Y  X.  Z ) )
20 eqid 2296 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
2119, 20fmptd 5700 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z ) )
22 txcnp.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
24 opex 4253 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2520fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. A ,  B >. )
276fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
2823, 9, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
2914fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  Z )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )  =  B )
3023, 17, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3128, 30opeq12d 3820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3226, 31eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
3332ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )
34 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
35 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x D
3634, 35nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )
37 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
3837, 35nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )
39 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  B )
4039, 35nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )
4138, 40nfop 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.
4236, 41nfeq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D ) )
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) )
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  D  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) )
4644, 45opeq12d 3820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  D  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.
)
4743, 46eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  D  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4842, 47rspc 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >. ) )
4922, 33, 48sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >. )
5049eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
5150adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  <->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 D ) >.  e.  ( v  X.  w
) ) )
523ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 D ) )
53 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  v  e.  K )
54 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v )
55 cnpimaex 17002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( J  CnP  K
) `  D )  /\  v  e.  K  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5652, 53, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )
)
5711ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L ) `
 D ) )
58 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  w  e.  L )
59 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )
60 cnpimaex 17002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( ( J  CnP  L
) `  D )  /\  w  e.  L  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
)  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
)
6256, 61jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
6362ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  D )  e.  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) `  D
)  e.  w )  ->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
64 opelxp 4735 . . . . . . 7  |-  ( <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D
) >.  e.  ( v  X.  w )  <->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) `  D
)  e.  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D )  e.  w
) )
65 reeanv 2720 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  J  E. s  e.  J  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( E. r  e.  J  ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v
)  /\  E. s  e.  J  ( D  e.  s  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )
) )
6663, 64, 653imtr4g 261 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 D ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  D ) >.  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
6751, 66sylbid 206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) ) )
68 an4 797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  <->  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) ) )
69 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( r  i^i  s )  <->  ( D  e.  r  /\  D  e.  s ) )
7069biimpri 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s ) )
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  ->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
72 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  r  e.  J )
73 toponss 16683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  r  e.  J )  ->  r  C_  X )
741, 72, 73syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
r  C_  X )
75 ssinss1 3410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r 
C_  X  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
7776sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  X )
7833ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  A. x  e.  X  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 x )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )
79 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
t
8034, 79nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )
8137, 79nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )
8239, 79nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
8381, 82nfop 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >.
8480, 83nfeq 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t ) )
86 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) )
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  t  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) )
8886, 87opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  t  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 t ) >.
)
8985, 88eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
9084, 89rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  x )  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >.  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. ) )
9177, 78, 90sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  = 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t
) >. )
92 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  r
93 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  ( r  i^i  s
) )
9492, 93sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  r )
955ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
96 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  A ) )
9876adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_  X )
99 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
10095, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  A )  =  X )
10198, 100sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
102101, 93sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )
103 funfvima 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  A )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  A ) )  ->  ( t  e.  r  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r ) ) )
10497, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  r  -> 
( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
) ) )
10594, 104mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) )
106 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  i^i  s )  C_  s
107106, 93sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  s )
10813ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
109 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  B ) )
111 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
112108, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  dom  ( x  e.  X  |->  B )  =  X )
11398, 112sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
114113, 93sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )
115 funfvima 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  B )  /\  t  e.  dom  ( x  e.  X  |->  B ) )  ->  ( t  e.  s  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
116110, 114, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
t  e.  s  -> 
( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
117107, 116mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  t
)  e.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )
118 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  B ) `  t )  e.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  ->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 t ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t ) >.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  X.  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
) ) )
119105, 117, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  t
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  t )
>.  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
12091, 119eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  C_  X )  /\  t  e.  ( r  i^i  s
) )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
121120ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) )
122 ffun 5407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
12321, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
124123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  Fun  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )
125 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12621, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  =  X )
127126adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  =  X )
12876, 127sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
r  i^i  s )  C_ 
dom  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
129 funimass4 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  /\  ( r  i^i  s )  C_  dom  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) )  ->  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  <->  A. t  e.  ( r  i^i  s
) ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t
)  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) ) ) )
130124, 128, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) )  <->  A. t  e.  (
r  i^i  s )
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  t )  e.  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) ) )
131121, 130mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  C_  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) ) )
13274, 131syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
133132adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) )
134 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) " s ) )  C_  ( v  X.  w ) )
135 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r )  X.  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s ) ) 
C_  ( v  X.  w )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
136133, 134, 135syl2im 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v  /\  (
( x  e.  X  |->  B ) " s
)  C_  w )  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
13771, 136anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  D  e.  s )  /\  (
( ( x  e.  X  |->  A ) "
r )  C_  v  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
13868, 137syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) )
139 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1401, 139syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
141 inopn 16661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  ( r  i^i  s
)  e.  J )
1421413expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J
) )  ->  (
r  i^i  s )  e.  J )
143140, 142sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
144143adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( r  i^i  s
)  e.  J )
145138, 144jctild 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
v  e.  K  /\  w  e.  L )
)  /\  ( r  e.  J  /\  s  e.  J ) )  -> 
( ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
146145expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  -> 
( ( r  i^i  s )  e.  J  /\  ( D  e.  ( r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " (
r  i^i  s )
)  C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
147 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  ( D  e.  z  <->  D  e.  ( r  i^i  s
) ) )
148 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  =  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) )
149148sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) )
150147, 149anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( r  i^i  s )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  ( v  X.  w ) )  <->  ( D  e.  ( r  i^i  s
)  /\  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" ( r  i^i  s ) )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
151150rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  i^i  s
)  e.  J  /\  ( D  e.  (
r  i^i  s )  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " ( r  i^i  s ) ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) )
152146, 151syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  /\  (
( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A )
" r )  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
153152exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( r  e.  J  /\  s  e.  J )  ->  (
( ( D  e.  r  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) " r ) 
C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B ) "
s )  C_  w
) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
154153rexlimdvv 2686 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( E. r  e.  J  E. s  e.  J  ( ( D  e.  r  /\  (
( x  e.  X  |->  A ) " r
)  C_  v )  /\  ( D  e.  s  /\  ( ( x  e.  X  |->  B )
" s )  C_  w ) )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
15567, 154syld 40 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  K  /\  w  e.  L ) )  -> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
156155ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
157 vex 2804 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
158 vex 2804 . . . . . 6  |-  w  e. 
_V
159157, 158xpex 4817 . . . . 5  |-  ( v  X.  w )  e. 
_V
160159rgen2w 2624 . . . 4  |-  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( v  X.  w )  e.  _V
161 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
162 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D )  e.  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
) ) )
163 sseq2 3213 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) )
164163anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z
)  C_  y )  <->  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
165164rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  ( E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y )  <->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) )
166162, 165imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ( v  X.  w )  ->  (
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <-> 
( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) ) )
167161, 166ralrnmpt2 5974 . . . 4  |-  ( A. v  e.  K  A. w  e.  L  (
v  X.  w )  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  ( v  X.  w
)  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  ( v  X.  w
) ) ) ) )
168160, 167ax-mp 8 . . 3  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  y ) )  <->  A. v  e.  K  A. w  e.  L  ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `  D
)  e.  ( v  X.  w )  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) " z ) 
C_  ( v  X.  w ) ) ) )
169156, 168sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w
) ) ( ( ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) )
170 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1712, 170syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
172 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
17310, 172syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
174 eqid 2296 . . . . 5  |-  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )  =  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) )
175174txval 17275 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
176171, 173, 175syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  =  ( topGen ` 
ran  ( v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ) )
177 txtopon 17302 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1782, 10, 177syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
1791, 176, 178, 22tgcnp 16999 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K 
tX  L ) ) `
 D )  <->  ( (
x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) : X --> ( Y  X.  Z )  /\  A. y  e.  ran  (
v  e.  K ,  w  e.  L  |->  ( v  X.  w ) ) ( ( ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) `
 D )  e.  y  ->  E. z  e.  J  ( D  e.  z  /\  (
( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
18021, 169, 179mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( ( J  CnP  ( K  tX  L ) ) `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   <.cop 3656    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   topGenctg 13358   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  limccnp2  19258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974  df-tx 17273
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