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Theorem txcnpi 17642
Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
txcnpi.2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
txcnpi.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
txcnpi.4  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
txcnpi.5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
txcnpi.6  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
txcnpi.7  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
txcnpi  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, A    u, B, v    u, F, v    u, J, v   
u, K, v    u, U, v
Allowed substitution hints:    ph( v, u)    L( v, u)    X( v, u)    Y( v, u)

Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. ) )
2 txcnpi.4 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
3 df-ov 6086 . . . 4  |-  ( A F B )  =  ( F `  <. A ,  B >. )
4 txcnpi.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A F B )  e.  U )
53, 4syl5eqelr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  <. A ,  B >. )  e.  U )
6 cnpimaex 17322 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( ( ( J  tX  K
)  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  /\  U  e.  L  /\  ( F `
 <. A ,  B >. )  e.  U )  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
71, 2, 5, 6syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( J  tX  K ) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w )  C_  U ) )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
9 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
108, 9cnpf 17313 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( ( J  tX  K )  CnP  L ) `  <. A ,  B >. )  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
111, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : U. ( J  tX  K ) --> U. L )
1211adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  F : U. ( J  tX  K
) --> U. L )
13 ffun 5595 . . . . . . 7  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  Fun  F )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  Fun  F )
15 elssuni 4045 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( J  tX  K )  ->  w  C_ 
U. ( J  tX  K ) )
16 fdm 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. ( J 
tX  K ) --> U. L  ->  dom  F  = 
U. ( J  tX  K ) )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  U. ( J  tX  K ) )
1817sseq2d 3378 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  C_  dom  F  <-> 
w  C_  U. ( J  tX  K ) ) )
1918biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  C_  U. ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
2015, 19sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  w  C_  dom  F )
21 funimass3 5848 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F "
w )  C_  U  <->  w 
C_  ( `' F " U ) ) )
2214, 20, 21syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( F " w )  C_  U 
<->  w  C_  ( `' F " U ) ) )
2322anbi2d 686 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) ) ) )
24 txcnpi.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 txcnpi.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
26 eltx 17602 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  ( J  tX  K
)  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2724, 25, 26syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J  tX  K )  <->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
2827biimpa 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) )
29 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( z  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
3029anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( z  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
31302rexbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. A ,  B >.  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( z  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) ) )
3231rspccv 3051 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  w
) ) )
33 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  -> 
( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
3433com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  w  ->  ( u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3534anim2d 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) ) )
36 opelxp 4910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( A  e.  u  /\  B  e.  v ) )
3736anbi1i 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  <->  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w ) )
38 df-3an 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) )  <-> 
( ( A  e.  u  /\  B  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  ( `' F " U ) ) )
3935, 37, 383imtr4g 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  -> 
( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4039reximdv 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4140reximdv 2819 . . . . . . . 8  |-  ( w 
C_  ( `' F " U )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  w )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4241com12 30 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( <. A ,  B >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  w
)  ->  ( w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4332, 42syl6 32 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  w  ->  (
w  C_  ( `' F " U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) ) )
4443imp3a 422 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  w  E. u  e.  J  E. v  e.  K  (
z  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  w )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4528, 44syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  w  C_  ( `' F " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4623, 45sylbid 208 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( J  tX  K ) )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F
" w )  C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  ( `' F " U ) ) ) )
4746rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( J  tX  K
) ( <. A ,  B >.  e.  w  /\  ( F " w ) 
C_  U )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) ) )
487, 47mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  K  ( A  e.  u  /\  B  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' F " U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   <.cop 3819   U.cuni 4017    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883   Fun wfun 5450   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083  TopOnctopon 16961    CnP ccnp 17291    tX ctx 17594
This theorem is referenced by:  tmdcn2  18121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-topgen 13669  df-top 16965  df-topon 16968  df-cnp 17294  df-tx 17596
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