Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnpi Structured version   Unicode version

Theorem txcnpi 17642
 Description: Continuity of a two-argument function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnpi.1 TopOn
txcnpi.2 TopOn
txcnpi.3
txcnpi.4
txcnpi.5
txcnpi.6
txcnpi.7
Assertion
Ref Expression
txcnpi
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem txcnpi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnpi.3 . . 3
2 txcnpi.4 . . 3
3 df-ov 6086 . . . 4
4 txcnpi.7 . . . 4
53, 4syl5eqelr 2523 . . 3
6 cnpimaex 17322 . . 3
71, 2, 5, 6syl3anc 1185 . 2
8 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
9 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
108, 9cnpf 17313 . . . . . . . . 9
111, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211adantr 453 . . . . . . 7
13 ffun 5595 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 elssuni 4045 . . . . . . 7
16 fdm 5597 . . . . . . . . . 10
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1817sseq2d 3378 . . . . . . . 8
1918biimpar 473 . . . . . . 7
2015, 19sylan2 462 . . . . . 6
21 funimass3 5848 . . . . . 6
2214, 20, 21syl2anc 644 . . . . 5
2322anbi2d 686 . . . 4
24 txcnpi.1 . . . . . . 7 TopOn
25 txcnpi.2 . . . . . . 7 TopOn
26 eltx 17602 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2724, 25, 26syl2anc 644 . . . . . 6
2827biimpa 472 . . . . 5
29 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
3029anbi1d 687 . . . . . . . . 9
31302rexbidv 2750 . . . . . . . 8
3231rspccv 3051 . . . . . . 7
33 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . 13
3433com12 30 . . . . . . . . . . . 12
3534anim2d 550 . . . . . . . . . . 11
36 opelxp 4910 . . . . . . . . . . . 12
3736anbi1i 678 . . . . . . . . . . 11
38 df-3an 939 . . . . . . . . . . 11
3935, 37, 383imtr4g 263 . . . . . . . . . 10
4039reximdv 2819 . . . . . . . . 9
4140reximdv 2819 . . . . . . . 8
4241com12 30 . . . . . . 7
4332, 42syl6 32 . . . . . 6
4443imp3a 422 . . . . 5
4528, 44syl 16 . . . 4
4623, 45sylbid 208 . . 3
4746rexlimdva 2832 . 2
487, 47mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cop 3819  cuni 4017   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880  cima 4883   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  TopOnctopon 16961   ccnp 17291   ctx 17594 This theorem is referenced by:  tmdcn2  18121 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-topgen 13669  df-top 16965  df-topon 16968  df-cnp 17294  df-tx 17596
 Copyright terms: Public domain W3C validator