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Theorem txcon 17723
Description: The topological product of two connected spaces is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txcon  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Con )

Proof of Theorem txcon
Dummy variables  w  a  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 contop 17482 . . 3  |-  ( R  e.  Con  ->  R  e.  Top )
2 contop 17482 . . 3  |-  ( S  e.  Con  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17603 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
5 neq0 3640 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  x )
6 inss1 3563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )  C_  ( R  tX  S )
7 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )
86, 7sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  ( R  tX  S
) )
9 elssuni 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  tX  S )  ->  x  C_ 
U. ( R  tX  S ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  C_ 
U. ( R  tX  S ) )
11 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  w  e.  U. ( R  tX  S ) )
12 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  R  e.  Con )
1312, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  R  e.  Top )
14 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  S  e.  Con )
1514, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  S  e.  Top )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. R  =  U. R
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. S  =  U. S
1816, 17txuni 17626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
1913, 15, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( U. R  X.  U. S )  = 
U. ( R  tX  S ) )
2011, 19eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  w  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
21 1st2nd2 6388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( U. R  X.  U. S )  ->  w  =  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  w )
>. )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  w  =  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  w
) >. )
23 xp2nd 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  U. S
)
2420, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 2nd `  w
)  e.  U. S
)
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  U. S  |->  <.
( 1st `  w
) ,  a >.
)  =  ( a  e.  U. S  |->  <.
( 1st `  w
) ,  a >.
)
2625mptpreima 5365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( a  e.  U. S  |->  <. ( 1st `  w
) ,  a >.
) " x )  =  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }
2717toptopon 17000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
2815, 27sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
2916toptopon 17000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
3013, 29sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
31 xp1st 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  w
)  e.  U. R
)
3220, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 1st `  w
)  e.  U. R
)
3328, 30, 32cnmptc 17696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. S  |->  ( 1st `  w ) )  e.  ( S  Cn  R
) )
3428cnmptid 17695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. S  |->  a )  e.  ( S  Cn  S ) )
3528, 33, 34cnmpt1t 17699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. S  |->  <. ( 1st `  w ) ,  a >. )  e.  ( S  Cn  ( R 
tX  S ) ) )
36 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  x  e.  ( ( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) ) )
376, 36sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  x  e.  ( R  tX  S ) )
38 cnima 17331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  U. S  |->  <. ( 1st `  w
) ,  a >.
)  e.  ( S  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  x  e.  ( R  tX  S ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. S  |->  <.
( 1st `  w
) ,  a >.
) " x )  e.  S )
3935, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( `' ( a  e.  U. S  |-> 
<. ( 1st `  w
) ,  a >.
) " x )  e.  S )
4026, 39syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }  e.  S )
41 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  z  e.  x
)
42 elunii 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  x  /\  x  e.  ( R  tX  S ) )  -> 
z  e.  U. ( R  tX  S ) )
4341, 37, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  z  e.  U. ( R  tX  S ) )
4443, 19eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  z  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
45 xp2nd 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. S
)
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 2nd `  z
)  e.  U. S
)
47 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  e.  U. R  |->  <.
a ,  ( 2nd `  z ) >. )  =  ( a  e. 
U. R  |->  <. a ,  ( 2nd `  z
) >. )
4847mptpreima 5365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' ( a  e.  U. R  |->  <. a ,  ( 2nd `  z )
>. ) " x )  =  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }
4930cnmptid 17695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. R  |->  a )  e.  ( R  Cn  R ) )
5030, 28, 46cnmptc 17696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. R  |->  ( 2nd `  z ) )  e.  ( R  Cn  S
) )
5130, 49, 50cnmpt1t 17699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  e. 
U. R  |->  <. a ,  ( 2nd `  z
) >. )  e.  ( R  Cn  ( R 
tX  S ) ) )
52 cnima 17331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  U. R  |->  <. a ,  ( 2nd `  z )
>. )  e.  ( R  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  x  e.  ( R  tX  S ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. R  |->  <.
a ,  ( 2nd `  z ) >. ) " x )  e.  R )
5351, 37, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( `' ( a  e.  U. R  |-> 
<. a ,  ( 2nd `  z ) >. ) " x )  e.  R )
5448, 53syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  e.  R )
55 xp1st 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( 1st `  z
)  e.  U. R
)
5644, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 1st `  z
)  e.  U. R
)
57 1st2nd2 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
5844, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
5958, 41eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)
60 opeq1 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( 1st `  z
)  ->  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
6160eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( 1st `  z
)  ->  ( <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x  <->  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z )
>.  e.  x ) )
6261rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  U. R  /\  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)  ->  E. a  e.  U. R <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x )
6356, 59, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  E. a  e.  U. R <. a ,  ( 2nd `  z )
>.  e.  x )
64 rabn0 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { a  e.  U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z )
>.  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  U. R <. a ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)
6563, 64sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  =/=  (/) )
66 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )  C_  ( Clsd `  ( R  tX  S
) )
6766, 36sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  x  e.  (
Clsd `  ( R  tX  S ) ) )
68 cnclima 17334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  e.  U. R  |->  <. a ,  ( 2nd `  z )
>. )  e.  ( R  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. R  |->  <.
a ,  ( 2nd `  z ) >. ) " x )  e.  ( Clsd `  R
) )
6951, 67, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( `' ( a  e.  U. R  |-> 
<. a ,  ( 2nd `  z ) >. ) " x )  e.  ( Clsd `  R
) )
7048, 69syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  e.  ( Clsd `  R
) )
7116, 12, 54, 65, 70conclo 17480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  =  U. R )
7232, 71eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 1st `  w
)  e.  { a  e.  U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x } )
73 opeq1 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  ( 1st `  w
)  ->  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  =  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
7473eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ( 1st `  w
)  ->  ( <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x  <->  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  z )
>.  e.  x ) )
7574elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1st `  w )  e.  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  <->  ( ( 1st `  w
)  e.  U. R  /\  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
) )
7675simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1st `  w )  e.  { a  e. 
U. R  |  <. a ,  ( 2nd `  z
) >.  e.  x }  -> 
<. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)
7772, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)
78 opeq2 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  ( 2nd `  z
)  ->  <. ( 1st `  w ) ,  a
>.  =  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  z )
>. )
7978eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( 2nd `  z
)  ->  ( <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x  <->  <.
( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
) )
8079rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2nd `  z
)  e.  U. S  /\  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  z ) >.  e.  x
)  ->  E. a  e.  U. S <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x
)
8146, 77, 80syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  E. a  e.  U. S <. ( 1st `  w
) ,  a >.  e.  x )
82 rabn0 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { a  e.  U. S  |  <. ( 1st `  w
) ,  a >.  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  U. S <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x
)
8381, 82sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }  =/=  (/) )
84 cnclima 17334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  U. S  |->  <. ( 1st `  w
) ,  a >.
)  e.  ( S  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. S  |->  <.
( 1st `  w
) ,  a >.
) " x )  e.  ( Clsd `  S
) )
8535, 67, 84syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( `' ( a  e.  U. S  |-> 
<. ( 1st `  w
) ,  a >.
) " x )  e.  ( Clsd `  S
) )
8626, 85syl5eqelr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }  e.  ( Clsd `  S ) )
8717, 14, 40, 83, 86conclo 17480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }  =  U. S )
8824, 87eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( 2nd `  w
)  e.  { a  e.  U. S  |  <. ( 1st `  w
) ,  a >.  e.  x } )
89 opeq2 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( 2nd `  w
)  ->  <. ( 1st `  w ) ,  a
>.  =  <. ( 1st `  w ) ,  ( 2nd `  w )
>. )
9089eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( 2nd `  w
)  ->  ( <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x  <->  <.
( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  w ) >.  e.  x
) )
9190elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x } 
<->  ( ( 2nd `  w
)  e.  U. S  /\  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  w ) >.  e.  x
) )
9291simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  { a  e. 
U. S  |  <. ( 1st `  w ) ,  a >.  e.  x }  ->  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  w ) >.  e.  x
)
9388, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  <. ( 1st `  w
) ,  ( 2nd `  w ) >.  e.  x
)
9422, 93eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  ( z  e.  x  /\  w  e.  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  w  e.  x
)
9594expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  (
w  e.  U. ( R  tX  S )  ->  w  e.  x )
)
9695ssrdv 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  U. ( R  tX  S )  C_  x )
9710, 96eqssd 3367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  =  U. ( R  tX  S ) )
9897ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) ) )  ->  ( z  e.  x  ->  x  =  U. ( R  tX  S
) ) )
9998exlimdv 1647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) ) )  ->  ( E. z 
z  e.  x  ->  x  =  U. ( R  tX  S ) ) )
1005, 99syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  x  =  U. ( R  tX  S
) ) )
101100orrd 369 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  /\  x  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. ( R  tX  S ) ) )
102101ex 425 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( x  e.  ( ( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  x  =  U. ( R  tX  S ) ) ) )
103 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
104103elpr 3834 . . . 4  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. ( R  tX  S ) }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. ( R  tX  S ) ) )
105102, 104syl6ibr 220 . . 3  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( x  e.  ( ( R  tX  S
)  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S
) ) )  ->  x  e.  { (/) ,  U. ( R  tX  S ) } ) )
106105ssrdv 3356 . 2  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. ( R  tX  S ) } )
107 eqid 2438 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
108107iscon2 17479 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  Con  <->  ( ( R  tX  S )  e. 
Top  /\  ( ( R  tX  S )  i^i  ( Clsd `  ( R  tX  S ) ) )  C_  { (/) ,  U. ( R  tX  S ) } ) )
1094, 106, 108sylanbrc 647 1  |-  ( ( R  e.  Con  /\  S  e.  Con )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {cpr 3817   <.cop 3819   U.cuni 4017    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   "cima 4883   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Clsdccld 17082    Cn ccn 17290   Conccon 17476    tX ctx 17594
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  25000  cvmlift2lem13  25004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-con 17477  df-tx 17596
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