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Theorem txdis1cn 17659
Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txdis1cn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
txdis1cn.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
txdis1cn.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
txdis1cn.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
txdis1cn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
txdis1cn  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J    x, X, y    x, K, y    ph, x    x, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    J( y)    V( x, y)

Proof of Theorem txdis1cn
Dummy variables  a 
b  m  n  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txdis1cn.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( X  X.  Y ) )
2 txdis1cn.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  Y ) )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
4 txdis1cn.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
5 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
65toptopon 16990 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
74, 6sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 txdis1cn.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
10 cnf2 17305 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  Y )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
113, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
12 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
1312fmpt 5882 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K  <->  ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) : Y --> U. K
)
1411, 13sylibr 204 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( x F y )  e. 
U. K )
1514ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( x F y )  e.  U. K
)
16 ffnov 6166 . . 3  |-  ( F : ( X  X.  Y ) --> U. K  <->  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
x F y )  e.  U. K ) )
171, 15, 16sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( X  X.  Y ) --> U. K )
18 cnvimass 5216 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " u ) 
C_  dom  F
191adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  F  Fn  ( X  X.  Y
) )
20 fndm 5536 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  dom  F  =  ( X  X.  Y ) )
2218, 21syl5sseq 3388 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y ) )
23 relxp 4975 . . . . . . 7  |-  Rel  ( X  X.  Y )
24 relss 4955 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  ( X  X.  Y )  ->  ( Rel  ( X  X.  Y
)  ->  Rel  ( `' F " u ) ) )
2522, 23, 24ee10 1385 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  Rel  ( `' F " u ) )
26 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >.
)  e.  u ) ) )
28 opelxp 4900 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )
29 df-ov 6076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x F z )  =  ( F `  <. x ,  z >. )
3029eqcomi 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 <. x ,  z
>. )  =  (
x F z )
3130eleq1i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u
)
3228, 31anbi12i 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  ( X  X.  Y
)  /\  ( F `  <. x ,  z
>. )  e.  u
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )
33 simprll 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  x  e.  X )
34 snelpwi 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  { x }  e.  ~P X
)
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  e.  ~P X )
3612mptpreima 5355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }
379adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  z  e.  Y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
3837ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
39 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  u  e.  K )
40 cnima 17321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K
)  ->  ( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) ) " u
)  e.  J )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( `' ( y  e.  Y  |->  ( x F y ) )
" u )  e.  J )
4236, 41syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J )
43 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
z  e.  Y )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( x F z )  e.  u )
45 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4645snid 3833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
{ x }
47 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( x  e.  { x }  /\  z  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
4846, 47mpbiran 885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  z  e.  { y  e.  Y  | 
( x F y )  e.  u }
)
49 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y )  =  ( x F z ) )
5049eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F z )  e.  u ) )
5150elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5248, 51bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( z  e.  Y  /\  (
x F z )  e.  u ) )
5343, 44, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
54 relxp 4975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  Rel  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
56 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  <->  ( n  e.  { x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )
5733snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  { x }  C_  X )
5857sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  n  e.  {
x } )  ->  n  e.  X )
5958adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  e.  X )
60 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  m  e.  Y )
6160ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  m  e.  Y )
62 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( n  e.  X  /\  m  e.  Y ) )
6359, 61, 62sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y ) )
64 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n F m )  =  ( F `  <. n ,  m >. )
65 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  { x }  ->  n  =  x )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  n  =  x )
6766oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( n F m )  =  ( x F m ) )
6864, 67syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  =  ( x F m ) )
69 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  m  ->  (
x F y )  =  ( x F m ) )
7069eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  m  ->  (
( x F y )  e.  u  <->  ( x F m )  e.  u ) )
7170elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  <->  ( m  e.  Y  /\  (
x F m )  e.  u ) )
7271simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
x F m )  e.  u )
7372ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( x F m )  e.  u )
7468, 73eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u )
75 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  ( X  X.  Y )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
761, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <->  ( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u ) ) )
7776ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  ( <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u )  <-> 
( <. n ,  m >.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. n ,  m >. )  e.  u
) ) )
7863, 74, 77mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  ( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u ) )  /\  ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } ) )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) )
7978ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( ( n  e. 
{ x }  /\  m  e.  { y  e.  Y  |  (
x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F " u ) ) )
8056, 79syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( <. n ,  m >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  ->  <. n ,  m >.  e.  ( `' F "
u ) ) )
8155, 80relssdv 4960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  -> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) )
82 xpeq1 4884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  { x }  ->  ( a  X.  b
)  =  ( { x }  X.  b
) )
8382eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b ) ) )
8482sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
8583, 84anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  { x }  ->  ( ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
86 xpeq2 4885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( { x }  X.  b )  =  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) )
8786eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  b )  <->  <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } ) ) )
8886sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u )  <-> 
( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )
8987, 88anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( { x }  X.  b )  /\  ( { x }  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
9085, 89rspc2ev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { x }  e.  ~P X  /\  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u }  e.  J  /\  ( <. x ,  z >.  e.  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  /\  ( { x }  X.  { y  e.  Y  |  ( x F y )  e.  u } )  C_  ( `' F " u ) ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9135, 42, 53, 81, 90syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) )
92 opex 4419 . . . . . . . . . . 11  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
93 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( v  e.  ( a  X.  b
)  <->  <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b ) ) )
9493anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) )  <->  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
95942rexbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  <. x ,  z
>.  ->  ( E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) )  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z
>.  e.  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  ( `' F " u ) ) ) )
9692, 95elab 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( <. x ,  z >.  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
9791, 96sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  K )  /\  (
( x  e.  X  /\  z  e.  Y
)  /\  ( x F z )  e.  u ) )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
9897ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  z  e.  Y )  /\  (
x F z )  e.  u )  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
9932, 98syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( <. x ,  z
>.  e.  ( X  X.  Y )  /\  ( F `  <. x ,  z >. )  e.  u
)  ->  <. x ,  z >.  e.  { v  |  E. a  e. 
~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
10027, 99sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( <. x ,  z >.  e.  ( `' F "
u )  ->  <. x ,  z >.  e.  {
v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } ) )
10125, 100relssdv 4960 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) } )
102 ssabral 3406 . . . . 5  |-  ( ( `' F " u ) 
C_  { v  |  E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) }  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
103101, 102sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) )
104 txdis1cn.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
105 distopon 17053 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
106104, 105syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X ) )
107106adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ~P X  e.  (TopOn `  X
) )
1082adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  J  e.  (TopOn `  Y )
)
109 eltx 17592 . . . . 5  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J )  <->  A. v  e.  ( `' F "
u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b
)  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
110107, 108, 109syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' F "
u )  e.  ( ~P X  tX  J
)  <->  A. v  e.  ( `' F " u ) E. a  e.  ~P  X E. b  e.  J  ( v  e.  ( a  X.  b )  /\  ( a  X.  b )  C_  ( `' F " u ) ) ) )
111103, 110mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
112111ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) )
113 txtopon 17615 . . . 4  |-  ( ( ~P X  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  (TopOn `  Y )
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114106, 2, 113syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
115 iscn 17291 . . 3  |-  ( ( ( ~P X  tX  J )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
)  <->  ( F :
( X  X.  Y
) --> U. K  /\  A. u  e.  K  ( `' F " u )  e.  ( ~P X  tX  J ) ) ) )
116114, 7, 115syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( ~P X  tX  J )  Cn  K
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( X  X.  Y
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11717, 112, 116mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ~P X  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   {csn 3806   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   Rel wrel 4875    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    tX ctx 17584
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  18116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-tx 17586
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