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Theorem txdis1cn 17659
 Description: A function is jointly continuous on a discrete left topology iff it is continuous as a function of its right argument, for each fixed left value. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txdis1cn.x
txdis1cn.j TopOn
txdis1cn.k
txdis1cn.f
txdis1cn.1
Assertion
Ref Expression
txdis1cn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem txdis1cn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txdis1cn.f . . 3
2 txdis1cn.j . . . . . . 7 TopOn
32adantr 452 . . . . . 6 TopOn
4 txdis1cn.k . . . . . . . 8
5 eqid 2435 . . . . . . . . 9
65toptopon 16990 . . . . . . . 8 TopOn
74, 6sylib 189 . . . . . . 7 TopOn
87adantr 452 . . . . . 6 TopOn
9 txdis1cn.1 . . . . . 6
10 cnf2 17305 . . . . . 6 TopOn TopOn
113, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5
12 eqid 2435 . . . . . 6
1312fmpt 5882 . . . . 5
1411, 13sylibr 204 . . . 4
1514ralrimiva 2781 . . 3
16 ffnov 6166 . . 3
171, 15, 16sylanbrc 646 . 2
18 cnvimass 5216 . . . . . . . 8
191adantr 452 . . . . . . . . 9
20 fndm 5536 . . . . . . . . 9
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8
2218, 21syl5sseq 3388 . . . . . . 7
23 relxp 4975 . . . . . . 7
24 relss 4955 . . . . . . 7
2522, 23, 24ee10 1385 . . . . . 6
26 elpreima 5842 . . . . . . . 8
2719, 26syl 16 . . . . . . 7
28 opelxp 4900 . . . . . . . . 9
29 df-ov 6076 . . . . . . . . . . 11
3029eqcomi 2439 . . . . . . . . . 10
3130eleq1i 2498 . . . . . . . . 9
3228, 31anbi12i 679 . . . . . . . 8
33 simprll 739 . . . . . . . . . . . 12
34 snelpwi 4401 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11
3612mptpreima 5355 . . . . . . . . . . . 12
379adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14
3837ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13
39 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
40 cnima 17321 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
4236, 41syl5eqelr 2520 . . . . . . . . . . 11
43 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
45 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645snid 3833 . . . . . . . . . . . . . 14
47 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47mpbiran 885 . . . . . . . . . . . . 13
49 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14
5150elrab 3084 . . . . . . . . . . . . 13
5248, 51bitri 241 . . . . . . . . . . . 12
5343, 44, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
54 relxp 4975 . . . . . . . . . . . . 13
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
56 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . 13
5733snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 elrabi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6160ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 opelxp 4900 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359, 61, 62sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6864, 67syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7468, 73eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
761, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7776ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
7863, 74, 77mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14
7978ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
8056, 79syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12
8155, 80relssdv 4960 . . . . . . . . . . 11
82 xpeq1 4884 . . . . . . . . . . . . . 14
8382eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13
8482sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . 13
8583, 84anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
86 xpeq2 4885 . . . . . . . . . . . . . 14
8786eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13
8886sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
9085, 89rspc2ev 3052 . . . . . . . . . . 11
9135, 42, 53, 81, 90syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10
92 opex 4419 . . . . . . . . . . 11
93 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13
9493anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12
95942rexbidv 2740 . . . . . . . . . . 11
9692, 95elab 3074 . . . . . . . . . 10
9791, 96sylibr 204 . . . . . . . . 9
9897ex 424 . . . . . . . 8
9932, 98syl5bi 209 . . . . . . 7
10027, 99sylbid 207 . . . . . 6
10125, 100relssdv 4960 . . . . 5
102 ssabral 3406 . . . . 5
103101, 102sylib 189 . . . 4
104 txdis1cn.x . . . . . . 7
105 distopon 17053 . . . . . . 7 TopOn
106104, 105syl 16 . . . . . 6 TopOn
107106adantr 452 . . . . 5 TopOn
1082adantr 452 . . . . 5 TopOn
109 eltx 17592 . . . . 5 TopOn TopOn
110107, 108, 109syl2anc 643 . . . 4
111103, 110mpbird 224 . . 3
112111ralrimiva 2781 . 2
113 txtopon 17615 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
114106, 2, 113syl2anc 643 . . 3 TopOn
115 iscn 17291 . . 3 TopOn TopOn
116114, 7, 115syl2anc 643 . 2
11717, 112, 116mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   wss 3312  cpw 3791  csn 3806  cop 3809  cuni 4007   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   wrel 4875   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584 This theorem is referenced by:  tgpmulg2  18116 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-tx 17586
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