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Theorem txhmeo 17756
Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txhmeo.1  |-  X  = 
U. J
txhmeo.2  |-  Y  = 
U. K
txhmeo.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
txhmeo.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
Assertion
Ref Expression
txhmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, G, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y    x, M, y

Proof of Theorem txhmeo
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txhmeo.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
2 hmeocn 17713 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F  e.  ( J  Cn  L
) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cntop1 17226 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 txhmeo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
76toptopon 16921 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 txhmeo.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
10 hmeocn 17713 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G  e.  ( K  Cn  M
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  M ) )
12 cntop1 17226 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  K  e.  Top )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 txhmeo.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
1514toptopon 16921 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1613, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
178, 16cnmpt1st 17621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
188, 16, 17, 3cnmpt21f 17625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
198, 16cnmpt2nd 17622 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
208, 16, 19, 11cnmpt21f 17625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( G `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
218, 16, 18, 20cnmpt2t 17626 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
22 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
23 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2422, 23op1std 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  x )
2524fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( F `
 x ) )
2622, 23op2ndd 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  u
)  =  y )
2726fveq2d 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( G `
 y ) )
2825, 27opeq12d 3934 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )
2928mpt2mpt 6104 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)
3029eqcomi 2391 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
31 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
326, 31cnf 17232 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  F : X --> U. L )
333, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> U. L
)
34 xp1st 6315 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  u )  e.  X )
35 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L
)
3633, 34, 35syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e. 
U. L )
37 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  U. M  =  U. M
3814, 37cnf 17232 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  G : Y --> U. M )
3911, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. M
)
40 xp2nd 6316 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  u )  e.  Y )
41 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : Y --> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e.  U. M
)
4239, 40, 41syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )
43 opelxpi 4850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L  /\  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  e.  ( U. L  X.  U. M
) )
4436, 42, 43syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>.  e.  ( U. L  X.  U. M ) )
456, 31hmeof1o 17717 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F : X
-1-1-onto-> U. L )
461, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> U. L
)
47 f1ocnv 5627 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> U. L  ->  `' F : U. L -1-1-onto-> X )
48 f1of 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : U. L -1-1-onto-> X  ->  `' F : U. L --> X )
4946, 47, 483syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : U. L --> X )
50 xp1st 6315 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 1st `  v
)  e.  U. L
)
51 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : U. L --> X  /\  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)  ->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5249, 50, 51syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5314, 37hmeof1o 17717 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G : Y
-1-1-onto-> U. M )
549, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M
)
55 f1ocnv 5627 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Y -1-1-onto-> U. M  ->  `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
56 f1of 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y  ->  `' G : U. M --> Y )
5754, 55, 563syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : U. M --> Y )
58 xp2nd 6316 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
59 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G : U. M --> Y  /\  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
6057, 58, 59syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
61 opelxpi 4850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X  /\  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6252, 60, 61syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
6346adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> U. L )
6434ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  u
)  e.  X )
6550ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)
66 f1ocnvfvb 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X  /\  ( 1st `  v )  e.  U. L )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
68 eqcom 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( 1st `  v ) )
69 eqcom 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  <->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u
) )
7067, 68, 693bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ) )
7154adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M )
7240ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  u
)  e.  Y )
7358ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
74 f1ocnvfvb 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y  /\  ( 2nd `  v )  e.  U. M )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
7571, 72, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
76 eqcom 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( 2nd `  v ) )
77 eqcom 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  <->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u
) )
7875, 76, 773bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) ) )
7970, 78anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) )  <-> 
( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
80 eqop 6328 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  v
)  =  ( F `
 ( 1st `  u
) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
8180ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( v  = 
<. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  <->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
82 eqop 6328 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
u  =  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8382ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8479, 81, 833bitr4rd 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
)
8530, 44, 62, 84f1ocnv2d 6234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( U. L  X.  U. M )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >. ) ) )
8685simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
v  e.  ( U. L  X.  U. M ) 
|->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
) )
87 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
88 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
8987, 88op1std 6296 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 1st `  v
)  =  z )
9089fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  =  ( `' F `  z ) )
9187, 88op2ndd 6297 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 2nd `  v
)  =  w )
9291fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  =  ( `' G `  w ) )
9390, 92opeq12d 3934 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  =  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9493mpt2mpt 6104 . . . 4  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <.
( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
)  =  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <.
( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9586, 94syl6eq 2435 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |-> 
<. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. ) )
96 cntop2 17227 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
973, 96syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
9831toptopon 16921 . . . . 5  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9997, 98sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
100 cntop2 17227 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
10111, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
10237toptopon 16921 . . . . 5  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
103101, 102sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
10499, 103cnmpt1st 17621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  z )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  L
) )
105 hmeocnvcn 17714 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J
) )
1061, 105syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J ) )
10799, 103, 104, 106cnmpt21f 17625 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' F `  z ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  J
) )
10899, 103cnmpt2nd 17622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  w )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  M
) )
109 hmeocnvcn 17714 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K
) )
1109, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K ) )
11199, 103, 108, 110cnmpt21f 17625 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' G `  w ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  K
) )
11299, 103, 107, 111cnmpt2t 17626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
11395, 112eqeltrd 2461 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
114 ishmeo 17712 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) )  <->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
11521, 113, 114sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3760   U.cuni 3957    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   1stc1st 6286   2ndc2nd 6287   Topctop 16881  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210    tX ctx 17513    Homeo chmeo 17706
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-map 6956  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cn 17213  df-tx 17515  df-hmeo 17708
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