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Theorem txhmeo 17825
Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txhmeo.1  |-  X  = 
U. J
txhmeo.2  |-  Y  = 
U. K
txhmeo.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
txhmeo.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
Assertion
Ref Expression
txhmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, G, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y    x, M, y

Proof of Theorem txhmeo
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txhmeo.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
2 hmeocn 17782 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F  e.  ( J  Cn  L
) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cntop1 17294 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 txhmeo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
76toptopon 16988 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 txhmeo.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
10 hmeocn 17782 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G  e.  ( K  Cn  M
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  M ) )
12 cntop1 17294 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  K  e.  Top )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 txhmeo.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
1514toptopon 16988 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1613, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
178, 16cnmpt1st 17690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
188, 16, 17, 3cnmpt21f 17694 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
198, 16cnmpt2nd 17691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
208, 16, 19, 11cnmpt21f 17694 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( G `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
218, 16, 18, 20cnmpt2t 17695 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
22 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
23 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2422, 23op1std 6349 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  x )
2524fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( F `
 x ) )
2622, 23op2ndd 6350 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  u
)  =  y )
2726fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( G `
 y ) )
2825, 27opeq12d 3984 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )
2928mpt2mpt 6157 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)
3029eqcomi 2439 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
31 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
326, 31cnf 17300 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  F : X --> U. L )
333, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> U. L
)
34 xp1st 6368 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  u )  e.  X )
35 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L
)
3633, 34, 35syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e. 
U. L )
37 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  U. M  =  U. M
3814, 37cnf 17300 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  G : Y --> U. M )
3911, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. M
)
40 xp2nd 6369 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  u )  e.  Y )
41 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : Y --> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e.  U. M
)
4239, 40, 41syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )
43 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L  /\  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  e.  ( U. L  X.  U. M
) )
4436, 42, 43syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>.  e.  ( U. L  X.  U. M ) )
456, 31hmeof1o 17786 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F : X
-1-1-onto-> U. L )
461, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> U. L
)
47 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> U. L  ->  `' F : U. L -1-1-onto-> X )
48 f1of 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : U. L -1-1-onto-> X  ->  `' F : U. L --> X )
4946, 47, 483syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : U. L --> X )
50 xp1st 6368 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 1st `  v
)  e.  U. L
)
51 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : U. L --> X  /\  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)  ->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5249, 50, 51syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5314, 37hmeof1o 17786 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G : Y
-1-1-onto-> U. M )
549, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M
)
55 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Y -1-1-onto-> U. M  ->  `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
56 f1of 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y  ->  `' G : U. M --> Y )
5754, 55, 563syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : U. M --> Y )
58 xp2nd 6369 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
59 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G : U. M --> Y  /\  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
6057, 58, 59syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
61 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X  /\  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6252, 60, 61syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
6346adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> U. L )
6434ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  u
)  e.  X )
6550ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)
66 f1ocnvfvb 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X  /\  ( 1st `  v )  e.  U. L )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
68 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( 1st `  v ) )
69 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  <->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u
) )
7067, 68, 693bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ) )
7154adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M )
7240ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  u
)  e.  Y )
7358ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
74 f1ocnvfvb 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y  /\  ( 2nd `  v )  e.  U. M )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
7571, 72, 73, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
76 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( 2nd `  v ) )
77 eqcom 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  <->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u
) )
7875, 76, 773bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) ) )
7970, 78anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) )  <-> 
( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
80 eqop 6381 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  v
)  =  ( F `
 ( 1st `  u
) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
8180ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( v  = 
<. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  <->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
82 eqop 6381 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
u  =  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8382ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8479, 81, 833bitr4rd 278 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
)
8530, 44, 62, 84f1ocnv2d 6287 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( U. L  X.  U. M )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >. ) ) )
8685simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
v  e.  ( U. L  X.  U. M ) 
|->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
) )
87 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
88 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
8987, 88op1std 6349 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 1st `  v
)  =  z )
9089fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  =  ( `' F `  z ) )
9187, 88op2ndd 6350 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 2nd `  v
)  =  w )
9291fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  =  ( `' G `  w ) )
9390, 92opeq12d 3984 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  =  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9493mpt2mpt 6157 . . . 4  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <.
( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
)  =  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <.
( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9586, 94syl6eq 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |-> 
<. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. ) )
96 cntop2 17295 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
973, 96syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
9831toptopon 16988 . . . . 5  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9997, 98sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
100 cntop2 17295 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
10111, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
10237toptopon 16988 . . . . 5  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
103101, 102sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
10499, 103cnmpt1st 17690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  z )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  L
) )
105 hmeocnvcn 17783 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J
) )
1061, 105syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J ) )
10799, 103, 104, 106cnmpt21f 17694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' F `  z ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  J
) )
10899, 103cnmpt2nd 17691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  w )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  M
) )
109 hmeocnvcn 17783 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K
) )
1109, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K ) )
11199, 103, 108, 110cnmpt21f 17694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' G `  w ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  K
) )
11299, 103, 107, 111cnmpt2t 17695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
11395, 112eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
114 ishmeo 17781 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) )  <->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
11521, 113, 114sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340   Topctop 16948  TopOnctopon 16949    Cn ccn 17278    tX ctx 17582    Homeo chmeo 17775
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13657  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cn 17281  df-tx 17584  df-hmeo 17777
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