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Theorem txhmeo 17510
Description: Lift a pair of homeomorphisms on the factors to a homeomorphism of product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txhmeo.1  |-  X  = 
U. J
txhmeo.2  |-  Y  = 
U. K
txhmeo.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
txhmeo.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
Assertion
Ref Expression
txhmeo  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    ph, x, y   
x, G, y    x, L, y    x, X, y   
x, Y, y    x, M, y

Proof of Theorem txhmeo
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txhmeo.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J 
Homeo  L ) )
2 hmeocn 17467 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F  e.  ( J  Cn  L
) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cntop1 16986 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  J  e.  Top )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
6 txhmeo.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. J
76toptopon 16687 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
85, 7sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 txhmeo.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K 
Homeo  M ) )
10 hmeocn 17467 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G  e.  ( K  Cn  M
) )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( K  Cn  M ) )
12 cntop1 16986 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  K  e.  Top )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
14 txhmeo.2 . . . . 5  |-  Y  = 
U. K
1514toptopon 16687 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
1613, 15sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
178, 16cnmpt1st 17378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
188, 16, 17, 3cnmpt21f 17382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  x
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
198, 16cnmpt2nd 17379 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
208, 16, 19, 11cnmpt21f 17382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( G `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
218, 16, 18, 20cnmpt2t 17383 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) ) )
22 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
23 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2422, 23op1std 6146 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  u
)  =  x )
2524fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( F `
 x ) )
2622, 23op2ndd 6147 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  u
)  =  y )
2726fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( G `
 y ) )
2825, 27opeq12d 3820 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >.  =  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )
2928mpt2mpt 5955 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. )  =  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)
3029eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  |->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
326, 31cnf 16992 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  F : X --> U. L )
333, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : X --> U. L
)
34 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  u )  e.  X )
35 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L
)
3633, 34, 35syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( F `  ( 1st `  u ) )  e. 
U. L )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. M  =  U. M
3814, 37cnf 16992 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  G : Y --> U. M )
3911, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : Y --> U. M
)
40 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 2nd `  u )  e.  Y )
41 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : Y --> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e.  U. M
)
4239, 40, 41syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )
43 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  ( 1st `  u ) )  e.  U. L  /\  ( G `  ( 2nd `  u ) )  e. 
U. M )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  e.  ( U. L  X.  U. M
) )
4436, 42, 43syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( X  X.  Y
) )  ->  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>.  e.  ( U. L  X.  U. M ) )
456, 31hmeof1o 17471 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  F : X
-1-1-onto-> U. L )
461, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> U. L
)
47 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> U. L  ->  `' F : U. L -1-1-onto-> X )
48 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : U. L -1-1-onto-> X  ->  `' F : U. L --> X )
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : U. L --> X )
50 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 1st `  v
)  e.  U. L
)
51 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : U. L --> X  /\  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)  ->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5249, 50, 51syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X )
5314, 37hmeof1o 17471 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  G : Y
-1-1-onto-> U. M )
549, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M
)
55 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( G : Y -1-1-onto-> U. M  ->  `' G : U. M -1-1-onto-> Y )
56 f1of 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G : U. M -1-1-onto-> Y  ->  `' G : U. M --> Y )
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' G : U. M --> Y )
58 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
59 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G : U. M --> Y  /\  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
6057, 58, 59syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  -> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )
61 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F `  ( 1st `  v ) )  e.  X  /\  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  e.  Y )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6252, 60, 61syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) )  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
6346adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  F : X -1-1-onto-> U. L )
6434ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  u
)  e.  X )
6550ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 1st `  v
)  e.  U. L
)
66 f1ocnvfvb 5811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> U. L  /\  ( 1st `  u
)  e.  X  /\  ( 1st `  v )  e.  U. L )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( F `
 ( 1st `  u
) )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u ) ) )
68 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( F `  ( 1st `  u ) )  =  ( 1st `  v ) )
69 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  <->  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  =  ( 1st `  u
) )
7067, 68, 693bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  <->  ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ) )
7154adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  G : Y -1-1-onto-> U. M )
7240ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  u
)  e.  Y )
7358ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( 2nd `  v
)  e.  U. M
)
74 f1ocnvfvb 5811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : Y -1-1-onto-> U. M  /\  ( 2nd `  u
)  e.  Y  /\  ( 2nd `  v )  e.  U. M )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
7571, 72, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( G `
 ( 2nd `  u
) )  =  ( 2nd `  v )  <-> 
( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u ) ) )
76 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( G `  ( 2nd `  u ) )  =  ( 2nd `  v ) )
77 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  <->  ( `' G `  ( 2nd `  v ) )  =  ( 2nd `  u
) )
7875, 76, 773bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) )  <->  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) ) )
7970, 78anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) )  <-> 
( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
80 eqop 6178 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  -> 
( v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) )
>. 
<->  ( ( 1st `  v
)  =  ( F `
 ( 1st `  u
) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
8180ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( v  = 
<. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `  ( 2nd `  u ) ) >.  <->  ( ( 1st `  v )  =  ( F `  ( 1st `  u ) )  /\  ( 2nd `  v )  =  ( G `  ( 2nd `  u ) ) ) ) )
82 eqop 6178 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( X  X.  Y )  ->  (
u  =  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u )  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8382ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  ( ( 1st `  u
)  =  ( `' F `  ( 1st `  v ) )  /\  ( 2nd `  u )  =  ( `' G `  ( 2nd `  v
) ) ) ) )
8479, 81, 833bitr4rd 277 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( X  X.  Y
)  /\  v  e.  ( U. L  X.  U. M ) ) )  ->  ( u  = 
<. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  <->  v  =  <. ( F `  ( 1st `  u ) ) ,  ( G `
 ( 2nd `  u
) ) >. )
)
8530, 44, 62, 84f1ocnv2d 6084 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( U. L  X.  U. M )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y ) >. )  =  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <. ( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >. ) ) )
8685simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
v  e.  ( U. L  X.  U. M ) 
|->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
) )
87 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
88 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
8987, 88op1std 6146 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 1st `  v
)  =  z )
9089fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' F `  ( 1st `  v
) )  =  ( `' F `  z ) )
9187, 88op2ndd 6147 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( 2nd `  v
)  =  w )
9291fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( `' G `  ( 2nd `  v
) )  =  ( `' G `  w ) )
9390, 92opeq12d 3820 . . . . 5  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  <. ( `' F `  ( 1st `  v
) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.  =  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9493mpt2mpt 5955 . . . 4  |-  ( v  e.  ( U. L  X.  U. M )  |->  <.
( `' F `  ( 1st `  v ) ) ,  ( `' G `  ( 2nd `  v ) ) >.
)  =  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <.
( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )
9586, 94syl6eq 2344 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  =  (
z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |-> 
<. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. ) )
96 cntop2 16987 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
973, 96syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
9831toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9997, 98sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
100 cntop2 16987 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
10111, 100syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
10237toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
103101, 102sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
10499, 103cnmpt1st 17378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  z )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  L
) )
105 hmeocnvcn 17468 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  L )  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J
) )
1061, 105syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( L  Cn  J ) )
10799, 103, 104, 106cnmpt21f 17382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' F `  z ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  J
) )
10899, 103cnmpt2nd 17379 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  w )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  M
) )
109 hmeocnvcn 17468 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( K  Homeo  M )  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K
) )
1109, 109syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G  e.  ( M  Cn  K ) )
11199, 103, 108, 110cnmpt21f 17382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  ( `' G `  w ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  K
) )
11299, 103, 107, 111cnmpt2t 17383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L ,  w  e.  U. M  |->  <. ( `' F `  z ) ,  ( `' G `  w )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
11395, 112eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
114 ishmeo 17466 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) )  <->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( L  tX  M ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  y )
>. )  e.  (
( L  tX  M
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
11521, 113, 114sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 y ) >.
)  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( L  tX  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271    Homeo chmeo 17460
This theorem is referenced by:  xpstopnlem1  17516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273  df-hmeo 17462
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