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Theorem txlly 17668
Description: If the property  A is preserved under topological products, then so is the property of being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
txlly  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e. Locally  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    R, j, k    S, k
Allowed substitution hint:    S( j)

Proof of Theorem txlly
Dummy variables  r 
s  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17535 . . 3  |-  ( R  e. Locally  A  ->  R  e. 
Top )
2 llytop 17535 . . 3  |-  ( S  e. Locally  A  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17601 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e.  Top )
5 eltx 17600 . . . 4  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( x  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )
6 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e. Locally  A )
7 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  u  e.  R )
8 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  e.  ( u  X.  v
) )
9 xp1st 6376 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
11 llyi 17537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  u  e.  R  /\  ( 1st `  y )  e.  u )  ->  E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A ) )
13 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e. Locally  A )
14 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  v  e.  S )
15 xp2nd 6377 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
168, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
17 llyi 17537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Locally  A  /\  v  e.  S  /\  ( 2nd `  y )  e.  v )  ->  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) )
19 reeanv 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  <->  ( E. r  e.  R  (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )
201ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
212ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
22 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  r  e.  R )
23 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  s  e.  S )
24 txopn 17634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
2520, 21, 22, 23, 24syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
26 simprl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  r  C_  u )
27 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  v )
28 xpss12 4981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  C_  u  /\  s  C_  v )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( u  X.  v ) )
2926, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( r  X.  s )  C_  (
u  X.  v ) )
30 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  x )
3129, 30sylan9ssr 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s ) 
C_  x )
32 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
3332elpw2 4364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  X.  s )  e.  ~P x  <->  ( r  X.  s )  C_  x
)
3431, 33sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ~P x )
35 elin 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  X.  s )  e.  ( ( R 
tX  S )  i^i 
~P x )  <->  ( (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S )  /\  (
r  X.  s )  e.  ~P x ) )
3625, 34, 35sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( ( R 
tX  S )  i^i 
~P x ) )
37 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
388, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
40 simprl2 1003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  r )
41 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  s )
42 opelxpi 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( 2nd `  y )  e.  s )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>.  e.  ( r  X.  s ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >.  e.  ( r  X.  s ) )
4539, 44eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  y  e.  ( r  X.  s
) )
46 txrest 17663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  =  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) ) )
4720, 21, 22, 23, 46syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  =  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) ) )
48 simprl3 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Rt  r
)  e.  A )
49 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( St  s
)  e.  A )
50 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
5150caovcl 6241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Rt  r )  e.  A  /\  ( St  s )  e.  A )  ->  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A
)
5248, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A )
5447, 53eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  e.  A
)
55 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( r  X.  s
) ) )
56 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( R  tX  S
)t  z )  =  ( ( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) ) )
5756eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( ( R  tX  S )t  z )  e.  A  <->  ( ( R 
tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) )
5855, 57anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) ) )
5958rspcev 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  X.  s
)  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S
)  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) )
6036, 45, 54, 59syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
6160expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  ->  ( (
( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6261rexlimdvva 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6319, 62syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
( E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6412, 18, 63mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
6564expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6665rexlimdvva 2837 . . . . 5  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6766ralimdv 2785 . . . 4  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
685, 67sylbid 207 . . 3  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( x  e.  ( R  tX  S )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) ) )
6968ralrimiv 2788 . 2  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  ->  A. x  e.  ( R  tX  S ) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i 
~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) )
70 islly 17531 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. Locally  A  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
714, 69, 70sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e. Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   <.cop 3817    X. cxp 4876   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   ↾t crest 13648   Topctop 16958  Locally clly 17527    tX ctx 17592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-lly 17529  df-tx 17594
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