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Theorem txlly 17330
Description: If the property  A is preserved under topological products, then so is the property of being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
txlly  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e. Locally  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    R, j, k    S, k
Allowed substitution hint:    S( j)

Proof of Theorem txlly
Dummy variables  r 
s  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17198 . . 3  |-  ( R  e. Locally  A  ->  R  e. 
Top )
2 llytop 17198 . . 3  |-  ( S  e. Locally  A  ->  S  e. 
Top )
3 txtop 17264 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e.  Top )
5 eltx 17263 . . . 4  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( x  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )
6 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e. Locally  A )
7 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  u  e.  R )
8 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  e.  ( u  X.  v
) )
9 xp1st 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
11 llyi 17200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  u  e.  R  /\  ( 1st `  y )  e.  u )  ->  E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A ) )
13 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e. Locally  A )
14 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  v  e.  S )
15 xp2nd 6150 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
168, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
17 llyi 17200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. Locally  A  /\  v  e.  S  /\  ( 2nd `  y )  e.  v )  ->  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) )
19 reeanv 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  <->  ( E. r  e.  R  (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  E. s  e.  S  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )
201ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
212ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e.  Top )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
23 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  r  e.  R )
24 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  s  e.  S )
25 txopn 17297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
2620, 22, 23, 24, 25syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
27 simprl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  r  C_  u )
28 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  s  C_  v )
29 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( r  C_  u  /\  s  C_  v )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( u  X.  v ) )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( r  X.  s )  C_  (
u  X.  v ) )
31 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  x )
3230, 31sylan9ssr 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s ) 
C_  x )
33 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
3433elpw2 4175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  X.  s )  e.  ~P x  <->  ( r  X.  s )  C_  x
)
3532, 34sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ~P x )
36 elin 3358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  X.  s )  e.  ( ( R 
tX  S )  i^i 
~P x )  <->  ( (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S )  /\  (
r  X.  s )  e.  ~P x ) )
3726, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( ( R 
tX  S )  i^i 
~P x ) )
38 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
398, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
41 simprl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  r )
42 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  s )
43 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( 2nd `  y )  e.  s )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>.  e.  ( r  X.  s ) )
4544adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >.  e.  ( r  X.  s ) )
4640, 45eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  y  e.  ( r  X.  s
) )
47 txrest 17325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  =  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) ) )
4820, 22, 23, 24, 47syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  =  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) ) )
49 simprl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( Rt  r
)  e.  A )
50 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( St  s
)  e.  A )
51 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
5251caovcl 6014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Rt  r )  e.  A  /\  ( St  s )  e.  A )  ->  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A
)
5349, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A )
5453adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( Rt  r )  tX  ( St  s ) )  e.  A )
5548, 54eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  (
( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) )  e.  A
)
56 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( r  X.  s
) ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( R  tX  S
)t  z )  =  ( ( R  tX  S
)t  ( r  X.  s
) ) )
5857eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( ( R  tX  S )t  z )  e.  A  <->  ( ( R 
tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) )
5956, 58anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( y  e.  z  /\  ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) ) )
6059rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  X.  s
)  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  ( r  X.  s
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( r  X.  s ) )  e.  A ) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S
)  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) )
6137, 46, 55, 60syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( r  e.  R  /\  s  e.  S
)  /\  ( (
r  C_  u  /\  ( 1st `  y )  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A
)  /\  ( s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A ) ) ) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
6261expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  ->  ( (
( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6362rexlimdvva 2674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6419, 63syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
( E. r  e.  R  ( r  C_  u  /\  ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( Rt  r )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  (
s  C_  v  /\  ( 2nd `  y )  e.  s  /\  ( St  s )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6512, 18, 64mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
6665expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6766rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
6867ralimdv 2622 . . . 4  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
695, 68sylbid 206 . . 3  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( x  e.  ( R  tX  S )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  (
( R  tX  S
)  i^i  ~P x
) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) ) )
7069ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  ->  A. x  e.  ( R  tX  S ) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i 
~P x ) ( y  e.  z  /\  ( ( R  tX  S )t  z )  e.  A ) )
71 islly 17194 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. Locally  A  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( R  tX  S )  i^i  ~P x ) ( y  e.  z  /\  (
( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) ) )
724, 70, 71sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e. Locally  A  /\  S  e. Locally  A )  -> 
( R  tX  S
)  e. Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   <.cop 3643    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   ↾t crest 13325   Topctop 16631  Locally clly 17190    tX ctx 17255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-lly 17192  df-tx 17257
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