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Theorem txnlly 17622
Description: If the property  A is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
txnlly  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    R, j, k    S, k
Allowed substitution hint:    S( j)

Proof of Theorem txnlly
Dummy variables  a 
b  r  s  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17489 . . 3  |-  ( R  e. 𝑛Locally  A  ->  R  e.  Top )
2 nllytop 17489 . . 3  |-  ( S  e. 𝑛Locally  A  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17554 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eltx 17553 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )
6 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e. 𝑛Locally  A )
7 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  u  e.  R )
8 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  e.  ( u  X.  v
) )
9 xp1st 6335 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
11 nlly2i 17492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  R  /\  ( 1st `  y )  e.  u )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
13 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e. 𝑛Locally  A )
14 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  v  e.  S )
15 xp2nd 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
168, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
17 nlly2i 17492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. 𝑛Locally  A  /\  v  e.  S  /\  ( 2nd `  y )  e.  v )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
19 reeanv 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  <->  ( E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) ) )
20 reeanv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  <-> 
( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )
214ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  Top )
221ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e.  Top )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  R  e.  Top )
2413, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e.  Top )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  S  e.  Top )
26 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  r  e.  R )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  e.  R )
28 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  s  e.  S )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  e.  S )
30 txopn 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S ) )
328ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( u  X.  v ) )
33 1st2nd2 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
35 simprl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  r )
36 simprr1 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  s )
37 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( 2nd `  y )  e.  s )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3934, 38eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( r  X.  s ) )
40 opnneip 17138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S )  /\  y  e.  ( r  X.  s ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
4121, 31, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
42 simprl2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  C_  a )
43 simprr2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  C_  b )
44 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  C_  a  /\  s  C_  b )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
4542, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
46 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  a  e.  ~P u )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  e.  ~P u
)
4847elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  u )
497ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  R )
50 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  R  ->  u  C_ 
U. R )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  C_  U. R )
5248, 51sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  U. R )
53 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  b  e.  ~P v )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  e.  ~P v
)
5554elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  v )
5614ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  e.  S )
57 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  S  ->  v  C_ 
U. S )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  C_  U. S )
5955, 58sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  U. S )
60 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  U. R  /\  b  C_  U. S )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
6152, 59, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
62 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. R  =  U. R
63 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. S  =  U. S
6462, 63txuni 17577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6523, 25, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6661, 65sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  U. ( R  tX  S ) )
67 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
6867ssnei2 17135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )  /\  (
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } ) )
6921, 41, 45, 66, 68syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
70 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  u  /\  b  C_  v )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
7148, 55, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
72 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  x )
7372ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  x )
7471, 73sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  x )
75 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
7675elpw2 4324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  X.  b )  e.  ~P x  <->  ( a  X.  b )  C_  x
)
7774, 76sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ~P x
)
78 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  X.  b )  e.  ( ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  <->  ( ( a  X.  b )  e.  ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  /\  ( a  X.  b )  e. 
~P x ) )
7969, 77, 78sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) )
80 txrest 17616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
8123, 25, 47, 54, 80syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
82 simprl3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( Rt  a )  e.  A )
83 simprr3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( St  b )  e.  A )
84 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
8584caovcl 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Rt  a )  e.  A  /\  ( St  b )  e.  A )  ->  ( ( Rt  a )  tX  ( St  b ) )  e.  A
)
8682, 83, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) )  e.  A )
8781, 86eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )
88 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( R  tX  S
)t  z )  =  ( ( R  tX  S
)t  ( a  X.  b
) ) )
8988eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( R  tX  S )t  z )  e.  A  <->  ( ( R 
tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A ) )
9089rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9179, 87, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9291ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9392anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9493rexlimdvva 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
9520, 94syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9695rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9719, 96syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
( E. a  e. 
~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9812, 18, 97mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
9998expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
10099rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
101100ralimdv 2745 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1025, 101sylbid 207 . . 3  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
103102ralrimiv 2748 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
104 isnlly 17485 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1054, 103, 104sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   ↾t crest 13603   Topctop 16913   neicnei 17116  𝑛Locally cnlly 17481    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  xkohmeo  17800  cvmlift2lem13  24955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-nei 17117  df-nlly 17483  df-tx 17547
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