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Theorem txnlly 17674
Description: If the property  A is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
txnlly  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Distinct variable groups:    j, k, A    R, j, k    S, k
Allowed substitution hint:    S( j)

Proof of Theorem txnlly
Dummy variables  a 
b  r  s  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17541 . . 3  |-  ( R  e. 𝑛Locally  A  ->  R  e.  Top )
2 nllytop 17541 . . 3  |-  ( S  e. 𝑛Locally  A  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17606 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 
Top )
5 eltx 17605 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )
6 simpll 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e. 𝑛Locally  A )
7 simprll 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  u  e.  R )
8 simprrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  y  e.  ( u  X.  v
) )
9 xp1st 6379 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  u )
11 nlly2i 17544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  u  e.  R  /\  ( 1st `  y )  e.  u )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
126, 7, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A ) )
13 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e. 𝑛Locally  A )
14 simprlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  v  e.  S )
15 xp2nd 6380 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
168, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  v )
17 nlly2i 17544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. 𝑛Locally  A  /\  v  e.  S  /\  ( 2nd `  y )  e.  v )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
1813, 14, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )
19 reeanv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  <->  ( E. a  e.  ~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) ) )
20 reeanv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A
)  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  <-> 
( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )
214ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  Top )
221ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  R  e.  Top )
2322ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  R  e.  Top )
2413, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  S  e.  Top )
2524ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  S  e.  Top )
26 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  r  e.  R )
2726adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  e.  R )
28 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  s  e.  S )
2928adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  e.  S )
30 txopn 17639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
r  X.  s )  e.  ( R  tX  S ) )
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S ) )
328ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( u  X.  v ) )
33 1st2nd2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( u  X.  v )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
35 simprl1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 1st `  y
)  e.  r )
36 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  e.  s )
37 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1st `  y
)  e.  r  /\  ( 2nd `  y )  e.  s )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3835, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >.  e.  ( r  X.  s ) )
3934, 38eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( r  X.  s ) )
40 opnneip 17188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  tX  S
)  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( R 
tX  S )  /\  y  e.  ( r  X.  s ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
4121, 31, 39, 40syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
42 simprl2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
r  C_  a )
43 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
s  C_  b )
44 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  C_  a  /\  s  C_  b )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
4542, 43, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b ) )
46 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  a  e.  ~P u )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  e.  ~P u
)
4847elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  u )
497ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  R )
50 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  R  ->  u  C_ 
U. R )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  u  C_  U. R )
5248, 51sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
a  C_  U. R )
53 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  b  e.  ~P v )
5453adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  e.  ~P v
)
5554elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  v )
5614ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  e.  S )
57 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  S  ->  v  C_ 
U. S )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
v  C_  U. S )
5955, 58sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
b  C_  U. S )
60 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  U. R  /\  b  C_  U. S )  ->  ( a  X.  b )  C_  ( U. R  X.  U. S
) )
6152, 59, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( U. R  X.  U. S ) )
62 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. R  =  U. R
63 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U. S  =  U. S
6462, 63txuni 17629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6523, 25, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
6661, 65sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  U. ( R  tX  S ) )
67 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
6867ssnei2 17185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\  ( r  X.  s
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )  /\  (
( r  X.  s
)  C_  ( a  X.  b )  /\  (
a  X.  b ) 
C_  U. ( R  tX  S ) ) )  ->  ( a  X.  b )  e.  ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } ) )
6921, 41, 45, 66, 68syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } ) )
70 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  C_  u  /\  b  C_  v )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
7148, 55, 70syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  ( u  X.  v ) )
72 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
u  X.  v ) 
C_  x )
7372ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( u  X.  v
)  C_  x )
7471, 73sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  C_  x )
75 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
7675elpw2 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  X.  b )  e.  ~P x  <->  ( a  X.  b )  C_  x
)
7774, 76sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ~P x
)
78 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  X.  b )  e.  ( ( ( nei `  ( R 
tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  <->  ( ( a  X.  b )  e.  ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  /\  ( a  X.  b )  e. 
~P x ) )
7969, 77, 78sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) )
80 txrest 17668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
8123, 25, 47, 54, 80syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  =  ( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) ) )
82 simprl3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( Rt  a )  e.  A )
83 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( St  b )  e.  A )
84 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  A )  ->  ( j  tX  k
)  e.  A )
8584caovcl 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Rt  a )  e.  A  /\  ( St  b )  e.  A )  ->  ( ( Rt  a )  tX  ( St  b ) )  e.  A
)
8682, 83, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Rt  a ) 
tX  ( St  b ) )  e.  A )
8781, 86eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )
88 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( R  tX  S
)t  z )  =  ( ( R  tX  S
)t  ( a  X.  b
) ) )
8988eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  X.  b )  ->  (
( ( R  tX  S )t  z )  e.  A  <->  ( ( R 
tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A ) )
9089rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  X.  b
)  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
)  /\  ( ( R  tX  S )t  ( a  X.  b ) )  e.  A )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9179, 87, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( ( a  e. 
~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) ) )  /\  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A )
9291ex 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9392anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
) ) )  /\  ( a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S
) )  ->  (
( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  (
( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9493rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  ( ( 2nd `  y )  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A ) )  ->  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
9520, 94syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  /\  (
a  e.  ~P u  /\  b  e.  ~P v ) )  -> 
( ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9695rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  ( E. a  e.  ~P  u E. b  e.  ~P  v ( E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9719, 96syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  (
( E. a  e. 
~P  u E. r  e.  R  ( ( 1st `  y )  e.  r  /\  r  C_  a  /\  ( Rt  a )  e.  A )  /\  E. b  e.  ~P  v E. s  e.  S  ( ( 2nd `  y
)  e.  s  /\  s  C_  b  /\  ( St  b )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
9812, 18, 97mp2and 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( ( u  e.  R  /\  v  e.  S )  /\  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  x )
) )  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
9998expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  /\  ( u  e.  R  /\  v  e.  S
) )  ->  (
( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
10099rexlimdvva 2839 . . . . 5  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
101100ralimdv 2787 . . . 4  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( A. y  e.  x  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  x
)  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1025, 101sylbid 208 . . 3  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  (
x  e.  ( R 
tX  S )  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  (
( ( nei `  ( R  tX  S ) ) `
 { y } )  i^i  ~P x
) ( ( R 
tX  S )t  z )  e.  A ) )
103102ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
)
104 isnlly 17537 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A  <->  ( ( R 
tX  S )  e. 
Top  /\  A. x  e.  ( R  tX  S
) A. y  e.  x  E. z  e.  ( ( ( nei `  ( R  tX  S
) ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( ( R  tX  S
)t  z )  e.  A
) )
1054, 103, 104sylanbrc 647 1  |-  ( ( R  e. 𝑛Locally  A  /\  S  e. 𝑛Locally  A )  ->  ( R  tX  S )  e. 𝑛Locally  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   <.cop 3819   U.cuni 4017    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351   ↾t crest 13653   Topctop 16963   neicnei 17166  𝑛Locally cnlly 17533    tX ctx 17597
This theorem is referenced by:  xkohmeo  17852  cvmlift2lem13  25007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-nei 17167  df-nlly 17535  df-tx 17599
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