Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txnlly Structured version   Unicode version

Theorem txnlly 17674
 Description: If the property is preserved under topological products, then so is the property of being n-locally . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txlly.1
Assertion
Ref Expression
txnlly 𝑛Locally 𝑛Locally 𝑛Locally
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem txnlly
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nllytop 17541 . . 3 𝑛Locally
2 nllytop 17541 . . 3 𝑛Locally
3 txtop 17606 . . 3
41, 2, 3syl2an 465 . 2 𝑛Locally 𝑛Locally
5 eltx 17605 . . . 4 𝑛Locally 𝑛Locally
6 simpll 732 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally 𝑛Locally
7 simprll 740 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally
8 simprrl 742 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally 𝑛Locally
9 xp1st 6379 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally
11 nlly2i 17544 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t
126, 7, 10, 11syl3anc 1185 . . . . . . . 8 𝑛Locally 𝑛Locally t
13 simplr 733 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally 𝑛Locally
14 simprlr 741 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally
15 xp2nd 6380 . . . . . . . . . 10
168, 15syl 16 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally
17 nlly2i 17544 . . . . . . . . 9 𝑛Locally t
1813, 14, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . 8 𝑛Locally 𝑛Locally t
19 reeanv 2877 . . . . . . . . 9 t t t t
20 reeanv 2877 . . . . . . . . . . 11 t t t t
214ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t
221ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally
2322ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
2413, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally
2524ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
26 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally
2726adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
28 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally
2928adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
30 txopn 17639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3123, 25, 27, 29, 30syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
328ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
33 1st2nd2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
35 simprl1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
36 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
37 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3835, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
3934, 38eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
40 opnneip 17188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4121, 31, 39, 40syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t
42 simprl2 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
43 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
44 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4542, 43, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t
46 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑛Locally 𝑛Locally
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally 𝑛Locally t t
4847elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
497ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally 𝑛Locally t t
50 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
5248, 51sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
53 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑛Locally 𝑛Locally
5453adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally 𝑛Locally t t
5554elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
5614ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑛Locally 𝑛Locally t t
57 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑛Locally 𝑛Locally t t
5955, 58sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally t t
60 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6152, 59, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
62 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6462, 63txuni 17629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6523, 25, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
6661, 65sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t
67 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867ssnei2 17185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6921, 41, 45, 66, 68syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally 𝑛Locally t t
70 xpss12 4984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7148, 55, 70syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
72 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛Locally 𝑛Locally
7372ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑛Locally 𝑛Locally t t
7471, 73sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t
75 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675elpw2 4367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7774, 76sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally 𝑛Locally t t
78 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7969, 77, 78sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally 𝑛Locally t t
80 txrest 17668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t t
8123, 25, 47, 54, 80syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally 𝑛Locally t t t t t
82 simprl3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
83 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
84 txlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584caovcl 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t t t
8682, 83, 85syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛Locally 𝑛Locally t t t t
8781, 86eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
88 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t
8988eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t
9089rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t
9179, 87, 90syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9291ex 425 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9392anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9493rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . 11 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9520, 94syl5bir 211 . . . . . . . . . 10 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9695rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9719, 96syl5bir 211 . . . . . . . 8 𝑛Locally 𝑛Locally t t t
9812, 18, 97mp2and 662 . . . . . . 7 𝑛Locally 𝑛Locally t
9998expr 600 . . . . . 6 𝑛Locally 𝑛Locally t
10099rexlimdvva 2839 . . . . 5 𝑛Locally 𝑛Locally t
101100ralimdv 2787 . . . 4 𝑛Locally 𝑛Locally t
1025, 101sylbid 208 . . 3 𝑛Locally 𝑛Locally t
103102ralrimiv 2790 . 2 𝑛Locally 𝑛Locally t
104 isnlly 17537 . 2 𝑛Locally t
1054, 103, 104sylanbrc 647 1 𝑛Locally 𝑛Locally 𝑛Locally
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  csn 3816  cop 3819  cuni 4017   cxp 4879  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351   ↾t crest 13653  ctop 16963  cnei 17166  𝑛Locally cnlly 17533   ctx 17597 This theorem is referenced by:  xkohmeo  17852  cvmlift2lem13  25007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-nei 17167  df-nlly 17535  df-tx 17599
 Copyright terms: Public domain W3C validator