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Theorem txpcon 23778
Description: The topological product of two path-connected spaces is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txpcon  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )

Proof of Theorem txpcon
Dummy variables  f  x  y  g  h  t  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 23771 . . 3  |-  ( R  e. PCon  ->  R  e.  Top )
2 pcontop 23771 . . 3  |-  ( S  e. PCon  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17280 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5 an6 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  <->  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon
)  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S )  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) ) )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. R  =  U. R
76pconcn 23770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z ) )
8 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. S  =  U. S
98pconcn 23770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S )  ->  E. h  e.  (
II  Cn  S )
( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )
107, 9anim12i 549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( h `
 0 )  =  y  /\  ( h `
 1 )  =  w ) ) )
115, 10sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) )
12 reeanv 2720 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( II 
Cn  R ) E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )  <->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R ) ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
1311, 12sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  R ) E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  (
( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
14 iiuni 18401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )
1614, 15txcnmpt 17334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
18 0elunit 10770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
19 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
0 ) )
20 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
0 ) )
2119, 20opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  0  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >. )
22 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >.  e.  _V
2321, 15, 22fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>. )
2418, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>.
25 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z ) )
2625simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  x )
27 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )
2827simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  0 )  =  y )
2926, 28opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 0 ) ,  ( h `  0
) >.  =  <. x ,  y >. )
3024, 29syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>. )
31 1elunit 10771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
1 ) )
33 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
1 ) )
3432, 33opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  1  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >. )
35 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >.  e.  _V
3634, 15, 35fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>. )
3731, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>.
3825simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  z )
3927simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  1 )  =  w )
4038, 39opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 1 ) ,  ( h `  1
) >.  =  <. z ,  w >. )
4137, 40syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. z ,  w >. )
42 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 0 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 ) )
4342eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  0 )  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. x ,  y
>. ) )
44 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 1 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 ) )
4544eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  1 )  =  <. z ,  w >.  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4643, 45anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  1 )  = 
<. z ,  w >. ) ) )
4746rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4817, 30, 41, 47syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4948expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  R
)  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) ) )  -> 
( ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5049rexlimdvva 2687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5113, 50mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
52513expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  /\  (
z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5352ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  ->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5453ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
55 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( f `
 1 )  =  v  <->  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
5655anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  v )  <->  ( (
f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5756rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
) )
5857ralxp 4843 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
59 eqeq2 2305 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( f `
 0 )  =  u  <->  ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >. )
)
6059anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( f `
 0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( f `  1
)  =  <. z ,  w >. ) ) )
6160rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  E. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
62612ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6358, 62syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6463ralxp 4843 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
6554, 64sylibr 203 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
666, 8txuni 17303 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
671, 2, 66syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R 
tX  S ) )
6867raleqdv 2755 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
6967, 68raleqbidv 2761 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
7065, 69mpbid 201 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
71 eqid 2296 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7271ispcon 23769 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. PCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\ 
A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
734, 70, 72sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   [,]cicc 10675   Topctop 16647    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   IIcii 18395  PConcpcon 23765
This theorem is referenced by:  txscon  23787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273  df-ii 18397  df-pcon 23767
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