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Theorem txpcon 24691
Description: The topological product of two path-connected spaces is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txpcon  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )

Proof of Theorem txpcon
Dummy variables  f  x  y  g  h  t  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcontop 24684 . . 3  |-  ( R  e. PCon  ->  R  e.  Top )
2 pcontop 24684 . . 3  |-  ( S  e. PCon  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17515 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 464 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5 an6 1263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  <->  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon
)  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S )  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) ) )
6 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. R  =  U. R
76pconcn 24683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  ->  E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z ) )
8 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. S  =  U. S
98pconcn 24683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S )  ->  E. h  e.  (
II  Cn  S )
( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )
107, 9anim12i 550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  x  e.  U. R  /\  z  e.  U. R )  /\  ( S  e. PCon  /\  y  e.  U. S  /\  w  e.  U. S
) )  ->  ( E. g  e.  (
II  Cn  R )
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( h `
 0 )  =  y  /\  ( h `
 1 )  =  w ) ) )
115, 10sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) )
12 reeanv 2811 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( II 
Cn  R ) E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )  <->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R ) ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  E. h  e.  ( II 
Cn  S ) ( ( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
1311, 12sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. g  e.  ( II  Cn  R ) E. h  e.  ( II  Cn  S ) ( ( ( g `
 0 )  =  x  /\  ( g `
 1 )  =  z )  /\  (
( h `  0
)  =  y  /\  ( h `  1
)  =  w ) ) )
14 iiuni 18775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
15 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )
1614, 15txcnmpt 17570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( II 
Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
18 0elunit 10940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
19 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
0 ) )
20 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  0  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
0 ) )
2119, 20opeq12d 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  0  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >. )
22 opex 4361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  0 ) ,  ( h ` 
0 ) >.  e.  _V
2321, 15, 22fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>. )
2418, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. ( g ` 
0 ) ,  ( h `  0 )
>.
25 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z ) )
2625simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  0 )  =  x )
27 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) )
2827simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  0 )  =  y )
2926, 28opeq12d 3927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 0 ) ,  ( h `  0
) >.  =  <. x ,  y >. )
3024, 29syl5eq 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>. )
31 1elunit 10941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
32 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
g `  t )  =  ( g ` 
1 ) )
33 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  1  ->  (
h `  t )  =  ( h ` 
1 ) )
3432, 33opeq12d 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  1  ->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >.  =  <. ( g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >. )
35 opex 4361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. (
g `  1 ) ,  ( h ` 
1 ) >.  e.  _V
3634, 15, 35fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>. )
3731, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. ( g ` 
1 ) ,  ( h `  1 )
>.
3825simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( g `  1 )  =  z )
3927simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( h `  1 )  =  w )
4038, 39opeq12d 3927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  <. ( g `
 1 ) ,  ( h `  1
) >.  =  <. z ,  w >. )
4137, 40syl5eq 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  ( (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  1 )  =  <. z ,  w >. )
42 fveq1 5660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 0 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 ) )
4342eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  0 )  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  0 )  =  <. x ,  y
>. ) )
44 fveq1 5660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( f `
 1 )  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 ) )
4544eqeq1d 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( f `  1 )  =  <. z ,  w >.  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4643, 45anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  ->  ( ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( g `  t
) ,  ( h `
 t ) >.
) `  0 )  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  1 )  = 
<. z ,  w >. ) ) )
4746rspcev 2988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. )  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
g `  t ) ,  ( h `  t ) >. ) `  0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( g `  t ) ,  ( h `  t )
>. ) `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4817, 30, 41, 47syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( ( g  e.  ( II  Cn  R )  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) )  /\  (
( ( g ` 
0 )  =  x  /\  ( g ` 
1 )  =  z )  /\  ( ( h `  0 )  =  y  /\  (
h `  1 )  =  w ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
4948expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  /\  ( g  e.  ( II  Cn  R
)  /\  h  e.  ( II  Cn  S
) ) )  -> 
( ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5049rexlimdvva 2773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  ( E. g  e.  ( II  Cn  R
) E. h  e.  ( II  Cn  S
) ( ( ( g `  0 )  =  x  /\  (
g `  1 )  =  z )  /\  ( ( h ` 
0 )  =  y  /\  ( h ` 
1 )  =  w ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5113, 50mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
)  /\  ( z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
52513expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  ( x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  /\  (
z  e.  U. R  /\  w  e.  U. S
) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5352ralrimivva 2734 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  /\  (
x  e.  U. R  /\  y  e.  U. S
) )  ->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
5453ralrimivva 2734 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
55 eqeq2 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( f `
 1 )  =  v  <->  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
5655anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  v )  <->  ( (
f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
5756rexbidv 2663 . . . . . . 7  |-  ( v  =  <. z ,  w >.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
) )
5857ralxp 4949 . . . . . 6  |-  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )
)
59 eqeq2 2389 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( f `
 0 )  =  u  <->  ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >. )
)
6059anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( f `  0 )  =  u  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  ( ( f `
 0 )  = 
<. x ,  y >.  /\  ( f `  1
)  =  <. z ,  w >. ) ) )
6160rexbidv 2663 . . . . . . 7  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  E. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
62612ralbidv 2684 . . . . . 6  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  <. z ,  w >. )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  (
II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6358, 62syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( u  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) ) )
6463ralxp 4949 . . . 4  |-  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. x  e.  U. R A. y  e.  U. S A. z  e.  U. R A. w  e.  U. S E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  <. x ,  y >.  /\  (
f `  1 )  =  <. z ,  w >. ) )
6554, 64sylibr 204 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
666, 8txuni 17538 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R  tX  S ) )
671, 2, 66syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ( R 
tX  S ) )
6867raleqdv 2846 . . . 4  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
6967, 68raleqbidv 2852 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( A. u  e.  ( U. R  X.  U. S ) A. v  e.  ( U. R  X.  U. S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v )  <->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
7065, 69mpbid 202 . 2  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) )
71 eqid 2380 . . 3  |-  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( R  tX  S )
7271ispcon 24682 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. PCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e.  Top  /\ 
A. u  e.  U. ( R  tX  S ) A. v  e.  U. ( R  tX  S ) E. f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  u  /\  ( f ` 
1 )  =  v ) ) )
734, 70, 72sylanbrc 646 1  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   <.cop 3753   U.cuni 3950    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   0cc0 8916   1c1 8917   [,]cicc 10844   Topctop 16874    Cn ccn 17203    tX ctx 17506   IIcii 18769  PConcpcon 24678
This theorem is referenced by:  txscon  24700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-icc 10848  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-topgen 13587  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cn 17206  df-tx 17508  df-ii 18771  df-pcon 24680
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