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Theorem txrest 17325
Description: The subspace of a topological product space induced by a subset with a Cartesian product representation is a topological product of the subspaces induced by the subspaces of the terms of the products. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txrest  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )

Proof of Theorem txrest
Dummy variables  s 
r  u  v  x  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
21txval 17259 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
32adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
43oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( topGen `  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
51txbasex 17261 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V )
6 xpexg 4800 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
7 tgrest 16890 . . . 4  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
85, 6, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) )t  ( A  X.  B ) ) )
9 elrest 13332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  e. 
_V  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
105, 6, 9syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
11 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
1211inex1 4155 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  i^i  A )  e. 
_V
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  r  e.  R )  ->  (
r  i^i  A )  e.  _V )
14 elrest 13332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
1514ad2ant2r 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( u  e.  ( Rt  A )  <->  E. r  e.  R  u  =  ( r  i^i  A
) ) )
16 xpeq1 4703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
u  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v ) )
1716eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  (
x  =  ( u  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
1817rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( r  i^i 
A )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
) ) )
19 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  s  e. 
_V
2019inex1 4155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  i^i  B )  e. 
_V
2120a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  s  e.  S )  ->  (
s  i^i  B )  e.  _V )
22 elrest 13332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  W  /\  B  e.  Y )  ->  ( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
2322ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( v  e.  ( St  B )  <->  E. s  e.  S  v  =  ( s  i^i  B
) ) )
24 xpeq2 4704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
( r  i^i  A
)  X.  v )  =  ( ( r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
2524eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( s  i^i 
B )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  v  =  ( s  i^i  B
) )  ->  (
x  =  ( ( r  i^i  A )  X.  v )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
2721, 23, 26rexxfr2d 4551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2818, 27sylan9bbr 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )
)  /\  u  =  ( r  i^i  A
) )  ->  ( E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
2913, 15, 28rexxfr2d 4551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3011, 19xpex 4801 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
3130rgen2w 2611 . . . . . . . . 9  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
32 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
33 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) ) )
34 inxp 4818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  X.  s )  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
)
3533, 34syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
w  i^i  ( A  X.  B ) )  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) )
3635eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( r  X.  s )  ->  (
x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  x  =  ( ( r  i^i 
A )  X.  (
s  i^i  B )
) ) )
3732, 36rexrnmpt2 5959 . . . . . . . . 9  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) ) )
3831, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) )  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  x  =  ( (
r  i^i  A )  X.  ( s  i^i  B
) ) )
3929, 38syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
)  <->  E. w  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) x  =  ( w  i^i  ( A  X.  B ) ) ) )
4010, 39bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  <->  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) ) )
4140abbi2dv 2398 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) } )
42 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) )
4342rnmpt2 5954 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  { x  |  E. u  e.  ( Rt  A ) E. v  e.  ( St  B ) x  =  ( u  X.  v
) }
4441, 43syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )t  ( A  X.  B ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
4544fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( topGen `  ( ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) )t  ( A  X.  B ) ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B ) 
|->  ( u  X.  v
) ) ) )
464, 8, 453eqtr2d 2321 . 2  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
47 ovex 5883 . . 3  |-  ( Rt  A )  e.  _V
48 ovex 5883 . . 3  |-  ( St  B )  e.  _V
49 eqid 2283 . . . 4  |-  ran  (
u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) )
5049txval 17259 . . 3  |-  ( ( ( Rt  A )  e.  _V  /\  ( St  B )  e.  _V )  ->  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
5147, 48, 50mp2an 653 . 2  |-  ( ( Rt  A )  tX  ( St  B ) )  =  ( topGen `  ran  ( u  e.  ( Rt  A ) ,  v  e.  ( St  B )  |->  ( u  X.  v ) ) )
5246, 51syl6eqr 2333 1  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W
)  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y ) )  -> 
( ( R  tX  S )t  ( A  X.  B ) )  =  ( ( Rt  A ) 
tX  ( St  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    X. cxp 4687   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   ↾t crest 13325   topGenctg 13342    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  txlly  17330  txnlly  17331  txkgen  17346  cnmpt2res  17371  xkoinjcn  17381  cnmpt2pc  18426  cnheiborlem  18452  lhop1lem  19360  cxpcn3  20088  raddcn  23302  cvmlift2lem6  23839  cvmlift2lem9  23842  cvmlift2lem12  23845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-tx 17257
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