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Theorem txscon 24056
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txscon  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )

Proof of Theorem txscon
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 24042 . . 3  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e. PCon )
2 sconpcon 24042 . . 3  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e. PCon )
3 txpcon 24047 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
5 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e. SCon )
6 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7 scontop 24043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e.  Top )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  Top )
9 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
109toptopon 16727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
12 scontop 24043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e.  Top )
1312ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  Top )
14 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. S  =  U. S
1514toptopon 16727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
1613, 15sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
17 tx1cn 17359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
1811, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
19 cnco 17051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R ) )
206, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R
) )
21 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
2221fveq2d 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
23 iitopon 18435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 17342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
2611, 16, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
27 cnf2 17035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
2824, 26, 6, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
29 0elunit 10801 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
30 fvco3 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
32 1elunit 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 fvco3 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
3428, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
3522, 31, 343eqtr4d 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
36 sconpht 24044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SCon  /\  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
375, 20, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
38 isphtpc 18545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
3937, 38sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
4039simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
41 n0 3498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
4240, 41sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
43 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e. SCon )
44 tx2cn 17360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
4511, 16, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
46 cnco 17051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S ) )
476, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S
) )
4821fveq2d 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
49 fvco3 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
5028, 29, 49sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
51 fvco3 5634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
5228, 32, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
5348, 50, 523eqtr4d 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
54 sconpht 24044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. SCon  /\  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
5543, 47, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
56 isphtpc 18545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5755, 56sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5857simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
59 n0 3498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
6058, 59sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
61 eeanv 1885 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  <-> 
( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) ) )
628adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
6313adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
646adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
65 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
66 eqid 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
67 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
68 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconlem 24055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7069ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
7170exlimdvv 1628 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7261, 71syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7342, 60, 72mp2and 660 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7473expr 598 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  ( (
f `  0 )  =  ( f ` 
1 )  ->  f
(  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ) )
7574ralrimiva 2660 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
76 isscon 24041 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. SCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) ) )
774, 75, 76sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   (/)c0 3489   {csn 3674   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    X. cxp 4724    |` cres 4728    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163   0cc0 8782   1c1 8783   [,]cicc 10706   Topctop 16687  TopOnctopon 16688    Cn ccn 17010    tX ctx 17311   IIcii 18431   PHtpycphtpy 18519    ~=ph cphtpc 18520  PConcpcon 24034  SConcscon 24035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-tx 17313  df-ii 18433  df-htpy 18521  df-phtpy 18522  df-phtpc 18543  df-pcon 24036  df-scon 24037
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