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Theorem txscon 23772
Description: The topological product of two simply connected spaces is simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
txscon  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )

Proof of Theorem txscon
Dummy variables  f 
g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 23758 . . 3  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e. PCon )
2 sconpcon 23758 . . 3  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e. PCon )
3 txpcon 23763 . . 3  |-  ( ( R  e. PCon  /\  S  e. PCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. PCon )
5 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e. SCon )
6 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7 scontop 23759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e. SCon  ->  R  e.  Top )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  Top )
9 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
109toptopon 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
12 scontop 23759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. SCon  ->  S  e.  Top )
1312ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  Top )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. S  =  U. S
1514toptopon 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
1613, 15sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
17 tx1cn 17303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
1811, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
19 cnco 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R ) )
206, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R
) )
21 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( f `  0 )  =  ( f `  1
) )
2221fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
23 iitopon 18383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
2423a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) ) )
25 txtopon 17286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
2611, 16, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
27 cnf2 16979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
2824, 26, 6, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
29 0elunit 10754 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
30 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
3128, 29, 30sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
32 1elunit 10755 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
33 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
3428, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
3522, 31, 343eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
36 sconpht 23760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. SCon  /\  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
375, 20, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  R ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
38 isphtpc 18492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
3937, 38sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  R )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  R )  /\  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
4039simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
41 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
4240, 41sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. g 
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )
43 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  S  e. SCon )
44 tx2cn 17304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
4511, 16, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
46 cnco 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S ) )
476, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S
) )
4821fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `
 ( f ` 
0 ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
49 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  0
) ) )
5028, 29, 49sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  0 )
) )
51 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( f `  1
) ) )
5228, 32, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  (
f `  1 )
) )
5348, 50, 523eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  1
) )
54 sconpht 23760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. SCon  /\  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 1 ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) (  ~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
5543, 47, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( 
~=ph  `  S ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )
56 isphtpc 18492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) (  ~=ph  `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } )  <->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5755, 56sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  e.  ( II  Cn  S )  /\  (
( 0 [,] 1
)  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } )  e.  ( II  Cn  S )  /\  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) ) )
5857simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  =/=  (/) )
59 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
6058, 59sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  E. h  h  e.  ( (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) )
61 eeanv 1854 . . . . . 6  |-  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  <-> 
( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) ) ) )
628adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  R  e.  Top )
6313adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  S  e.  Top )
646adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
65 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
66 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f )
67 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
68 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )
6962, 63, 64, 65, 66, 67, 68txsconlem 23771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  ( f  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) )  /\  ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 ) ) )  /\  (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7069ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
7170exlimdvv 1668 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( E. g E. h ( g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `  0
) } ) )  /\  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7261, 71syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  ( ( E. g  g  e.  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) `  0 ) } ) )  /\  E. h  h  e.  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  f
) ( PHtpy `  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  f ) `
 0 ) } ) ) )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) )
7342, 60, 72mp2and 660 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( f `  0
)  =  ( f `
 1 ) ) )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) )
7473expr 598 . . 3  |-  ( ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  /\  f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  ( (
f `  0 )  =  ( f ` 
1 )  ->  f
(  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( f `  0 ) } ) ) )
7574ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  A. f  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f ` 
0 )  =  ( f `  1 )  ->  f (  ~=ph  `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
76 isscon 23757 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e. SCon 
<->  ( ( R  tX  S )  e. PCon  /\  A. f  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) ( ( f `  0
)  =  ( f `
 1 )  -> 
f (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( f `  0
) } ) ) ) )
774, 75, 76sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e. SCon  /\  S  e. SCon )  ->  ( R  tX  S )  e. SCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    X. cxp 4687    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   IIcii 18379   PHtpycphtpy 18466    ~=ph cphtpc 18467  PConcpcon 23750  SConcscon 23751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pcon 23752  df-scon 23753
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