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Theorem txsconlem 24706
Description: Lemma for txscon 24707. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txscon.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
txscon.2  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txscon.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
txscon.5  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.6  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
txscon.7  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
txscon.8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
txsconlem  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )

Proof of Theorem txsconlem
Dummy variables  x  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txscon.3 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) ) )
2 fconstmpt 4861 . . 3  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( F `
 0 ) )
3 iitopon 18780 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
5 txscon.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
6 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
76toptopon 16921 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
85, 7sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
9 txscon.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
10 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
1110toptopon 16921 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
129, 11sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
13 txtopon 17544 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
148, 12, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
15 cnf2 17235 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) )  /\  F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )  ->  F :
( 0 [,] 1
) --> ( U. R  X.  U. S ) )
164, 14, 1, 15syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S ) )
17 0elunit 10947 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
18 ffvelrn 5807 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
204, 14, 19cnmptc 17615 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( F `  0
) )  e.  ( II  Cn  ( R 
tX  S ) ) )
212, 20syl5eqel 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) ) )
22 txscon.5 . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
23 tx1cn 17562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R
) )
248, 12, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  R ) )
25 cnco 17252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  R ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  R ) )
261, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  R ) )
2722, 26syl5eqel 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  ( II 
Cn  R ) )
28 fconstmpt 4861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( A `
 0 ) )
29 iiuni 18782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
3029, 6cnf 17232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( II  Cn  R )  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R
)
3127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
32 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  e.  U. R )
3331, 17, 32sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  U. R
)
344, 8, 33cnmptc 17615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( A `  0
) )  e.  ( II  Cn  R ) )
3528, 34syl5eqel 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } )  e.  ( II  Cn  R
) )
3627, 35phtpycn 18879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  R ) )
37 txscon.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( PHtpy `  R )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
3836, 37sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
39 iitop 18781 . . . . . . . . . 10  |-  II  e.  Top
4039, 39, 29, 29txunii 17546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) )  = 
U. ( II  tX  II )
4140, 6cnf 17232 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  R )  ->  G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R
)
42 ffn 5531 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. R  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
4338, 41, 423syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
44 fnov 6117 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  G  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) ) )
4543, 44sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x G y ) ) )
4645, 38eqeltrrd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x G y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  R ) )
47 txscon.6 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)
48 tx2cn 17563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S
) )
498, 12, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  e.  ( ( R  tX  S
)  Cn  S ) )
50 cnco 17252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  e.  ( ( R  tX  S )  Cn  S ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F )  e.  ( II  Cn  S ) )
511, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
)  e.  ( II 
Cn  S ) )
5247, 51syl5eqel 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( II 
Cn  S ) )
53 fconstmpt 4861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( B `
 0 ) )
5429, 10cnf 17232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( II  Cn  S )  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S
)
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
56 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  e.  U. S )
5755, 17, 56sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  e.  U. S
)
584, 12, 57cnmptc 17615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( B `  0
) )  e.  ( II  Cn  S ) )
5953, 58syl5eqel 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } )  e.  ( II  Cn  S
) )
6052, 59phtpycn 18879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  (
( II  tX  II )  Cn  S ) )
61 txscon.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( PHtpy `  S )
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
6260, 61sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
6340, 10cnf 17232 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  ( ( II 
tX  II )  Cn  S )  ->  H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S
)
64 ffn 5531 . . . . . . . 8  |-  ( H : ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) ) --> U. S  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6562, 63, 643syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1 ) ) )
66 fnov 6117 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  ( ( 0 [,] 1 )  X.  ( 0 [,] 1
) )  <->  H  =  ( x  e.  (
0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) ) )
6765, 66sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( x H y ) ) )
6867, 62eqeltrrd 2462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( x H y ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  S ) )
694, 4, 46, 68cnmpt2t 17626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  (
( II  tX  II )  Cn  ( R  tX  S ) ) )
7027, 35phtpyhtpy 18878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A ( PHtpy `  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) )  C_  ( A ( II Htpy  R
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( A ` 
0 ) } ) ) )
7170, 37sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( A ( II Htpy  R ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) ) )
724, 27, 35, 71htpyi 18870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s G 0 )  =  ( A `
 s )  /\  ( s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( A `  0 ) } ) `  s
) ) )
7372simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( A `  s ) )
7422fveq1i 5669 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 s )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
75 fvco3 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7616, 75sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
7774, 76syl5eq 2431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  s )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
78 ffvelrn 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
7916, 78sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
80 fvres 5685 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 1st `  ( F `  s
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8273, 77, 813eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 0 )  =  ( 1st `  ( F `  s )
) )
8352, 59phtpyhtpy 18878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ( PHtpy `  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) )  C_  ( B ( II Htpy  S
) ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( B ` 
0 ) } ) ) )
8483, 61sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  ( B ( II Htpy  S ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) ) )
854, 52, 59, 84htpyi 18870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( s H 0 )  =  ( B `
 s )  /\  ( s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( B `  0 ) } ) `  s
) ) )
8685simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( B `  s ) )
8747fveq1i 5669 . . . . . . . 8  |-  ( B `
 s )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  s
)
88 fvco3 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
8916, 88sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
9087, 89syl5eq 2431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  s )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  s ) ) )
91 fvres 5685 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  s )
)  =  ( 2nd `  ( F `  s
) ) )
9279, 91syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 s ) )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9386, 90, 923eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 0 )  =  ( 2nd `  ( F `  s )
) )
9482, 93opeq12d 3934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
95 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
96 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 0 ) )
97 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 0 ) )
9896, 97opeq12d 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >. )
99 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <. (
x G y ) ,  ( x H y ) >. )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )
100 opex 4368 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.  e.  _V
10198, 99, 100ovmpt2a 6143 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
10295, 17, 101sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  = 
<. ( s G 0 ) ,  ( s H 0 ) >.
)
103 1st2nd2 6325 . . . . . 6  |-  ( ( F `  s )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  s
)  =  <. ( 1st `  ( F `  s ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  s )
) >. )
10479, 103syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `  s )
) ,  ( 2nd `  ( F `  s
) ) >. )
10594, 102, 1043eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 0 )  =  ( F `  s
) )
10672simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( A `
 0 ) } ) `  s ) )
107 fvex 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  e. 
_V
108107fvconst2 5886 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
109108adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( A `  0
) } ) `  s )  =  ( A `  0 ) )
11022fveq1i 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 0 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
111 fvco3 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
11216, 17, 111sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
113 fvres 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
11419, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
115112, 114eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
116110, 115syl5eq 2431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( 1st `  ( F `  0
) ) )
117116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  0 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
118106, 109, 1173eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s G 1 )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
11985simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( B `
 0 ) } ) `  s ) )
120 fvex 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  e. 
_V
121120fvconst2 5886 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
122121adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( B `  0
) } ) `  s )  =  ( B `  0 ) )
12347fveq1i 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( B `
 0 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)
124 fvco3 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  0 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  0 ) ) )
12516, 17, 124sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 0 ) ) )
126 fvres 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
12719, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  0 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
128125, 127eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
129123, 128syl5eq 2431 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  0
)  =  ( 2nd `  ( F `  0
) ) )
130129adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  0 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
131119, 122, 1303eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s H 1 )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
132118, 131opeq12d 3934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
133 1elunit 10948 . . . . . 6  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
134 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x G y )  =  ( s G 1 ) )
135 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x H y )  =  ( s H 1 ) )
136134, 135opeq12d 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >. )
137 opex 4368 . . . . . . 7  |-  <. (
s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.  e.  _V
138136, 99, 137ovmpt2a 6143 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
13995, 133, 138sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  = 
<. ( s G 1 ) ,  ( s H 1 ) >.
)
140 fvex 5682 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 0 )  e. 
_V
141140fvconst2 5886 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  ( F `  0 ) )
14319adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
144 1st2nd2 6325 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  0 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  0
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
145143, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  =  <. ( 1st `  ( F `  0 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  0
) ) >. )
146142, 145eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) `  s )  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
147132, 139, 1463eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) 1 )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } ) `
 s ) )
14827, 35, 37phtpyi 18880 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 G s )  =  ( A `
 0 )  /\  ( 1 G s )  =  ( A `
 1 ) ) )
149148simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( A ` 
0 ) )
150149, 117eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 G s )  =  ( 1st `  ( F `  0 )
) )
15152, 59, 61phtpyi 18880 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 H s )  =  ( B `
 0 )  /\  ( 1 H s )  =  ( B `
 1 ) ) )
152151simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( B ` 
0 ) )
153152, 130eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  0 )
) )
154150, 153opeq12d 3934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 0 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  0 )
) >. )
155 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 0 G s ) )
156 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 0 H s ) )
157155, 156opeq12d 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >. )
158 opex 4368 . . . . . . 7  |-  <. (
0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.  e.  _V
159157, 99, 158ovmpt2a 6143 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
16017, 95, 159sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 0 G s ) ,  ( 0 H s ) >.
)
161154, 160, 1453eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  0
) )
162148simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( A ` 
1 ) )
16322fveq1i 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A `
 1 )  =  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
164 fvco3 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
16516, 133, 164sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
166163, 165syl5eq 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
167 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
16816, 133, 167sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
169 fvres 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
171166, 170eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  1
)  =  ( 1st `  ( F `  1
) ) )
172171adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( A `  1 )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
173162, 172eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 G s )  =  ( 1st `  ( F `  1 )
) )
174151simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( B ` 
1 ) )
17547fveq1i 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( B `
 1 )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)
176 fvco3 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R  X.  U. S )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) )  o.  F
) `  1 )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `  1 ) ) )
17716, 133, 176sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) )  o.  F ) `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
178175, 177syl5eq 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S ) ) `  ( F `
 1 ) ) )
179 fvres 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
180168, 179syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. R  X.  U. S
) ) `  ( F `  1 )
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
181178, 180eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B `  1
)  =  ( 2nd `  ( F `  1
) ) )
182181adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( B `  1 )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
183174, 182eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 H s )  =  ( 2nd `  ( F `  1 )
) )
184173, 183opeq12d 3934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  =  <. ( 1st `  ( F `
 1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
185 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x G y )  =  ( 1 G s ) )
186 oveq12 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x H y )  =  ( 1 H s ) )
187185, 186opeq12d 3934 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>.  =  <. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >. )
188 opex 4368 . . . . . . 7  |-  <. (
1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.  e.  _V
189187, 99, 188ovmpt2a 6143 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
190133, 95, 189sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  = 
<. ( 1 G s ) ,  ( 1 H s ) >.
)
191168adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
192 1st2nd2 6325 . . . . . 6  |-  ( ( F `  1 )  e.  ( U. R  X.  U. S )  -> 
( F `  1
)  =  <. ( 1st `  ( F ` 
1 ) ) ,  ( 2nd `  ( F `  1 )
) >. )
193191, 192syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  =  <. ( 1st `  ( F `  1 )
) ,  ( 2nd `  ( F `  1
) ) >. )
194184, 190, 1933eqtr4d 2429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. ) s )  =  ( F `  1
) )
1951, 21, 69, 105, 147, 161, 194isphtpy2d 18883 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  <. ( x G y ) ,  ( x H y )
>. )  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) ) )
196 ne0i 3577 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  <.
( x G y ) ,  ( x H y ) >.
)  e.  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  -> 
( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
197195, 196syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S
) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  { ( F `
 0 ) } ) )  =/=  (/) )
198 isphtpc 18890 . 2  |-  ( F (  ~=ph  `  ( R 
tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } )  <->  ( F  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ ( F ` 
0 ) } )  e.  ( II  Cn  ( R  tX  S ) )  /\  ( F ( PHtpy `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1
)  X.  { ( F `  0 ) } ) )  =/=  (/) ) )
1991, 21, 197, 198syl3anbrc 1138 1  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  ( R  tX  S ) ) ( ( 0 [,] 1 )  X.  {
( F `  0
) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   (/)c0 3571   {csn 3757   <.cop 3760   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207    X. cxp 4816    |` cres 4820    o. ccom 4822    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   1stc1st 6286   2ndc2nd 6287   0cc0 8923   1c1 8924   [,]cicc 10851   Topctop 16881  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210    tX ctx 17513   IIcii 18776   Htpy chtpy 18863   PHtpycphtpy 18864    ~=ph cphtpc 18865
This theorem is referenced by:  txscon  24707
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-ii 18778  df-htpy 18866  df-phtpy 18867  df-phtpc 18888
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