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Theorem txss12 17316
Description: Subset property of the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txss12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( A  tX  C
)  C_  ( B  tX  D ) )

Proof of Theorem txss12
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )
21txbasex 17277 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V )
4 resss 4995 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  |`  ( A  X.  C ) )  C_  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y
) )
5 resmpt2 5958 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  -> 
( ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  |`  ( A  X.  C
) )  =  ( x  e.  A , 
y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) )
65sseq1d 3218 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  -> 
( ( ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  |`  ( A  X.  C
) )  C_  (
x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  <->  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) )  C_  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y
) ) ) )
74, 6mpbii 202 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  -> 
( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y
) )  C_  (
x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y
) )  C_  (
x  e.  B , 
y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) )
9 rnss 4923 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A , 
y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) )  C_  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y
) )  C_  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y
) ) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  ->  ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y
) )  C_  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y
) ) )
11 tgss 16722 . . 3  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V  /\  ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) 
C_  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y
) ) )  C_  ( topGen `  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
123, 10, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) )  C_  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
13 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
14 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  D  /\  D  e.  W )  ->  C  e.  _V )
15 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ran  (
x  e.  A , 
y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  A , 
y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) )
1615txval 17275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  tX  C
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1713, 14, 16syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V
)  /\  ( C  C_  D  /\  D  e.  W ) )  -> 
( A  tX  C
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1817an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  /\  ( B  e.  V  /\  D  e.  W ) )  -> 
( A  tX  C
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
1918ancoms 439 . 2  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( A  tX  C
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  A ,  y  e.  C  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
201txval 17275 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( B  tX  D
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
2120adantr 451 . 2  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( B  tX  D
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  D  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
2212, 19, 213sstr4d 3234 1  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W
)  /\  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )  -> 
( A  tX  C
)  C_  ( B  tX  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    X. cxp 4703   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   topGenctg 13358    tX ctx 17271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-topgen 13360  df-tx 17273
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